Mostre que a matriz pode ser escrita como combinação linear das matrizes
Passo 1
Queremos escrever d como combinação linear de a, b, c. Para isso, buscamos escalares x,y,z tais que xa + yb + zc = d.
Passo 2
Da igualdade de cada entrada, obtemos as equações x - y + z = 4, 2x + 2y - 2z = -4, 3x + 3y - 3z = -6 e 4x - 4y + 4z = 16.
Passo 3
Observamos que 4x - 4y + 4z = 16 equivale a x - y + z = 4 e que 3x + 3y - 3z = -6 equivale a x + y - z = -2, reduzindo o sistema a x - y + z = 4 e x + y - z = -2.
Passo 4
Somando as duas equações, surge 2x = 2 e, portanto, x = 1. Substituindo em x + y - z = -2 obtemos y - z = -3 e então z = y + 3. Há infinitas soluções; tomamos y = 0 para simplificar, gerando z = 3.
Passo 5
Com x = 1, y = 0 e z = 3, substituímos em xa + yb + zc e confirmamos que d = a + 3c.
Resposta
d = a + 3c
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Elon Lages Lima - Algebra Linear - 1ª Edição - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 2.13