Mostre que o vetor b=(1,2,2) não é combinação linear dos vetores v1=(1,1,2) e v2=(1,2,1). A partir daí, formule um sistema linear de 3 equações com 2 incógnitas, que não possui solução e que tem o vetor b como segundo membro.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o vetor b=(1,2,2) não pode ser escrito como combinação linear dos vetores v1=(1,1,2) e v2=(1,2,1). O conteúdo principal é verificar se existem escalares alpha e beta tais que b=alpha v1+beta v2, o que leva a um sistema linear em alpha e beta.

Passo 2

Para testar a combinação linear, igualamos coordenada a coordenada de b=alpha v1+beta v2. Isso gera o sistema:
alpha + beta = 1, alpha + 2beta = 2, 2alpha + beta = 2

Passo 3

Agora resolvemos as duas primeiras equações: subtraindo a primeira da segunda, obtemos beta=1. Em seguida, de alpha+beta=1 vem alpha=0.

Passo 4

Finalmente, substituindo alpha=0 e beta=1 na terceira equação, temos 2cdot0+1=1, mas o lado direito pede 2. Isso é uma contradição, logo não existem alpha,beta que satisfaçam todas as três equações ao mesmo tempo.

Passo 5

Concluímos que b não é combinação linear de v1 e v2. O sistema com 3 equações e 2 incógnitas que usamos acima não possui solução e tem b como termo independente.

Resposta

alpha + beta = 1, alpha + 2beta = 2, 2alpha + beta = 2

Exercícios de Livros Relacionados