Quais dos seguintes conjuntos são subespaços vetoriais?
Os vetores (x, y) in R^2 tais que x^2+3 x=y^2+3 y.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto V = { (x,y) ∈ ℝ² ∣ x² + 3x = y² + 3y } é subespaço vetorial de ℝ². Vamos usar critérios de subespaço: conter o zero, ser fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Reescrevendo a condição x² + 3x = y² + 3y obtemos x² – y² + 3(x – y) = 0. Fatorando,
(x - y)(x + y + 3) = 0,
logo V é a união de duas retas: L₁: x - y = 0 e L₂: x + y + 3 = 0. A reta L₁ equivale a y = x e passa pela origem; L₂ é um deslocamento (affine), não passa pela origem.

Passo 3

Um subespaço deve ser fechado sob soma de vetores. Por exemplo, (1,1) ∈ L₁ e (-4,1) ∈ L₂, mas (1,1)+(-4,1)=(-3,2) não satisfaz x²+3x=y²+3y, logo V não é fechado sob soma.
Além disso, ainda que L₁ seja subespaço, L₂ não o é (não contém a origem). A união L₁∪L₂, portanto, falha em ser um subespaço vetorial de ℝ².

Resposta

O conjunto dado não é subespaço vetorial. Só a reta y = x (i.e. x - y = 0) é subespaço, mas a união com a reta x + y + 3 = 0 rompe o fechamento.

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