Mostre que, se A é uma matriz unitária, então A^{T} é unitária.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se A é unitária, então A^{T} também é unitária.
Por definição, uma matriz A\in\mathbb{C}^{n\times n} é unitária se
A^{*}A = I,
onde A^{*} = \overline{A}^{T} é a conjugada transposta de A.
Para provar que A^{T} é unitária, vamos verificar que
\bigl(A^{T}\bigr)^{*}\,A^{T} = I.

Passo 2

Começamos tomando a transposta da igualdade \,A^{*}A = I:
\bigl(A^{*}A\bigr)^{T} = I^{T}.
Usando a propriedade de transposta de produto, \,(XY)^{T} = Y^{T}X^{T}, obtemos
\bigl(A^{*}A\bigr)^{T} = A^{T}\,(A^{*})^{T},
e como I^{T}=I, temos
A^{T}\,(A^{*})^{T} = I.

Passo 3

Agora usamos a relação entre transposta e conjugada-transposta, que diz
\bigl(A^{T}\bigr)^{*} = (\,\overline{A^{T}}\,)^{T} = (\,\overline{A}\,)^{T\,T} = \overline{A} \quad\text{e}\quad (A^{*})^{T} = \bigl(\overline{A}^{T}\bigr)^{T} = \overline{A}.
Ou seja,
(A^{*})^{T} = \bigl(A^{T}\bigr)^{*}.

Passo 4

Substituindo (A^{*})^{T} = (A^{T})^{*} em
A^{T}\,(A^{*})^{T} = I
obtemos
A^{T}\,\bigl(A^{T}\bigr)^{*} = I.
Isso mostra exatamente que A^{T} satisfaz a condição de matriz unitária, já que \,(A^{T})^{*}A^{T}=I e também A^{T}(A^{T})^{*}=I.

Resposta

Portanto, A^{T} é unitária.

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