Mostre que toda matriz simétrica real é hermitiana.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que toda matriz simétrica real é hermitiana. Vamos usar as definições: matriz A é simétrica se
A^T = A
e é hermitiana se
A^H = A,
onde
A^H = \overline{A}^{\,T}
é a conjugada transposta de A.

Passo 2

Como A é uma matriz real, cada entrada a_{ij} satisfaz \overline{a_{ij}} = a_{ij}. Portanto a matriz de conjugados coincide com A:
\overline{A} = A.
Isso implica
A^H = \overline{A}^{\,T} = A^T.

Passo 3

Se A é simétrica, então A^T = A. Substituindo na relação anterior, obtemos
A^H = A.
Logo A é hermitiana.

Resposta

Toda matriz real simétrica satisfaz A^H = A e, portanto, é hermitiana.

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