Mostre que toda matriz simétrica real é hermitiana.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que toda matriz simétrica real é hermitiana. Vamos usar as definições: matriz A é simétrica se
A^T = A
e é hermitiana se
A^H = A,
onde
A^H = \overline{A}^{\,T}
é a conjugada transposta de A.
Passo 2
Como A é uma matriz real, cada entrada a_{ij} satisfaz \overline{a_{ij}} = a_{ij}. Portanto a matriz de conjugados coincide com A:
\overline{A} = A.
Isso implica
A^H = \overline{A}^{\,T} = A^T.
Passo 3
Se A é simétrica, então A^T = A. Substituindo na relação anterior, obtemos
A^H = A.
Logo A é hermitiana.
Resposta
Toda matriz real simétrica satisfaz A^H = A e, portanto, é hermitiana.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Bernard K e David R - Introdução à Álgebra Linear Com Aplicações (Vol 1) - 8ª Edição - Capítulo A.1. Exercícios Teóricos - Ex. T.3.c