Mostre que, para que um número seja divisível por 6 é necessário e suficiente que na sua representação na base 10 , a soma do algarismo da unidade com quatro vezes cada um dos outros algarismos, seja divisível por 6.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que um número escrito em base 10, digamos
, é divisível por 6 se, e somente se,
for divisível por 6. O conteúdo principal envolve aritmética modular (congruências) e propriedades dos potências de 10 modulo 6.
Passo 2
Primeiro, observamos que
. Então, para
,
4^n \equiv 4 \pmod{6}\quad (n\ge1).
10^0 \equiv 1 \pmod{6},
10^n \equiv 4 \pmod{6}\quad(n\ge1).$$
Passo 3
Agora escrevemos
Aplicando as congruências conhecidas a cada termo, obtemos
ou seja
Passo 4
Portanto,
é divisível por 6 (isto é,
) se, e somente se,
Resposta
Um número é divisível por 6 se, e somente se, a soma do algarismo da unidade mais quatro vezes a soma dos demais algarismos for divisível por 6, isto é, se
.