Mostre que, para que um número seja divisível por 6 é necessário e suficiente que na sua representação na base 10 , a soma do algarismo da unidade com quatro vezes cada um dos outros algarismos, seja divisível por 6.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um número escrito em base 10, digamos N = an10^n + an-110^n-1 + dots + a1 10 + a0, é divisível por 6 se, e somente se, a0 + 4,(a1 + a2 + dots + an) for divisível por 6. O conteúdo principal envolve aritmética modular (congruências) e propriedades dos potências de 10 modulo 6.

Passo 2

Primeiro, observamos que . Então, para ,
4^n \equiv 4 \pmod{6}\quad (n\ge1).
çõ
10^0 \equiv 1 \pmod{6},
10^n \equiv 4 \pmod{6}\quad(n\ge1).$$

Passo 3

Agora escrevemos
N = an10^n + an-110^n-1 + cdots + a1 10 + a0
Aplicando as congruências conhecidas a cada termo, obtemos
N equiv ancdot4 + an-1cdot4 + cdots + a1cdot4 + a0cdot1 pmod6,
ou seja
N equiv a0 + 4,(a1 + a2 + dots + an) pmod6

Passo 4

Portanto, N é divisível por 6 (isto é, Nequiv0pmod6) se, e somente se,
a0 + 4,(a1 + a2 + dots + an) equiv 0 pmod6

Resposta

Um número é divisível por 6 se, e somente se, a soma do algarismo da unidade mais quatro vezes a soma dos demais algarismos for divisível por 6, isto é, se a0 + 4,(a1 + dots + an)equiv0pmod6.

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