Mostre que
(a) se
é um número primo ímpar positivo tal que
para algum
, então
;
Sugestão: Por indução sobre r e redução ao absurdo utilizando o
queno Teorema de Fermat.
(b) todo divisor primo positivo
de um número de Fermat
é da forma
para algum
. Ache os cinco menores primos positivos que podem dividir
e teste-os. Conclúa com Euler que
não é primo contrariamente ao que Fermat havia afirmado;
(c) para cada
, existem infinitos primos da forma
. Isto é um caso particular do Teorema de Dirichlet (Capítulo 5, Seção 2). Em particular existem infinitos números primos da forma
.
Sugestão: Use o Problema 1.6, (iii), Capítulo 5, para mostrar que é infinito, para cada
, o conjunto
é divisor primo de
para algum
(a) se
(b) todo divisor primo positivo
(c) para cada
Passo 1
Resumo do enunciado e planejamento: queremos provar três coisas: (a) se um primo ímpar p divide
então
; (b) todo primo divisor de
satisfaz
, em particular achamos os cinco menores candidatos para
e mostramos que apenas 641 o divide; (c) para cada
há infinitos primos da forma
, usando que os divisores de distintos
são novos e cada um satisfaz a congruência dada.
Passo 2
Prova de (a) por indução em
:
Base : se
então a ordem de
módulo
é 4 (pois
e não pode ser 1 antes), logo
e
.
Passo indutivo: suponha o resultado para . Seja
. Então a ordem de
em
é exatamente
(pois divide
mas não
ou menor, caso contrário teríamos um divisor de
contradizendo a hipótese indutiva). Logo
, isto é
.
Base
Passo indutivo: suponha o resultado para
Passo 3
Demonstração de (b) e teste em
:
Pelo item (a) com e
segue que todo primo
satisfaz
Pelo item (a) com
o que em particular implica
Para
temos
, então procuramos os cinco menores primos de forma
. Testando
achamos os cinco primeiros:
193, 257, 449, 577 e 641.
Destes, apenas divide
. De fato
193, 257, 449, 577 e 641.
Destes, apenas
logo
é composto.
Passo 4
Prova de (c) – infinitude de primos em
:
Considere para cada o conjunto
Considere para cada
Cada
possui ao menos um primo divisor novo (porque
e
são coprimos para
). Além disso, todo
satisfaz
. Como há infinitos
, há infinitos divisores novos em
, logo infinitos primos da forma
.
Passo 5
Em particular, para
obtemos infinitos primos
, ou seja, infinitos da forma $4n+1.
Resposta
(a) Provou-se por indução que se um primo ímpar p divide
então
, ou seja
. (b) Todo primo divisor de
satisfaz
. Para
os cinco menores candidatos são 193, 257, 449, 577 e 641; destes apenas 641 divide
, logo
não é primo. (c) Como cada
traz pelo menos um primo divisor novo e todo divisor está em
, conclui-se que há infinitos primos da forma
; em especial, infinitos primos
.