Mostre que os polinômios de Chebyshev têm as seguintes propriedades:
Tn 7(Tn(x))=Tn m(x)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todos os inteiros não-negativos n e m, vale
Tnl(Tm(x)r);=;Tn m(x),
sendo Tk(x) o polinômio de Chebyshev de primeira espécie. Vamos usar a definição trigonométrica
Tk(x)=cosl(karccos(x)r)
e a propriedade de composição de cos e arccos.

Passo 2

Relembrando a definição trigonométrica: para xin[-1,1] e inteiro k>=0,
Tk(x)=cosl(k,arccos(x)r)
Em particular
Tm(x)=cosl(m,arccos(x)r),
e ao compor com Tn teremos que avaliar cosl(narccos(cdot)r) sobre esse valor.

Passo 3

Aplicando diretamente a definição de Tn em Tm(x),
Tnl(Tm(x)r) =cos!l(n,arccosl(Tm(x)r)r) =cos!l(n,arccosl(cos(m,arccos(x))r)r)
Como arccos(costheta)=theta (no ramo principal) e m,arccos(x) está nesse ramo, obtemos
cos!l(n,underbracearccos(cos(m,arccos(x)))=,m,arccos(x)r) =cosl(n,m,arccos(x)r)

Passo 4

Mas cosl(n,m,arccos(x)r) é justamente, pela definição,
Tn,m(x)
Logo chegamos à identidade desejada.

Resposta

Tnl(Tm(x)r) ;=; Tn,m(x)

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