Mostre que os polinômios de Chebyshev têm as seguintes propriedades:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todos os inteiros não-negativos
e
, vale
sendo
o polinômio de Chebyshev de primeira espécie. Vamos usar a definição trigonométrica
e a propriedade de composição de
e
.
Passo 2
Relembrando a definição trigonométrica: para
e inteiro
,
Em particular
e ao compor com
teremos que avaliar
sobre esse valor.
Passo 3
Aplicando diretamente a definição de
em
,
Como
(no ramo principal) e
está nesse ramo, obtemos
Passo 4
Mas
cosl(n,m,arccos(x)r) é justamente, pela definição,
Logo chegamos à identidade desejada.