Mostre que o produto de duas matrizes escalares é uma matriz escalar.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, se tivermos duas matrizes escalares, o produto entre elas também é uma matriz escalar. O conteúdo aqui é a definição de matriz escalar (ou seja, múltiplo da matriz identidade) e as propriedades da multiplicação de matrizes.

Passo 2

Sejam
A = \lambda I_{n}
e
B = \mu I_{n},
onde \lambda e \mu são escalares (números reais ou complexos) e I_{n} é a matriz identidade de ordem n.

Passo 3

Usamos agora a associatividade e comutatividade da multiplicação escalar junto com a propriedade
I_{n}\,I_{n}=I_{n}.
Portanto,
AB = (\lambda I_{n})(\mu I_{n}) = \lambda\,\bigl(I_{n}\,\mu I_{n}\bigr) = \lambda\,\mu\,\bigl(I_{n}I_{n}\bigr) = \lambda\,\mu\,I_{n}.

Passo 4

O resultado acima mostra que AB é exatamente um múltiplo da matriz identidade, com múltiplo \lambda\mu. Logo AB é uma matriz escalar.

Resposta

O produto de duas matrizes escalares A=\lambda I_{n} e B=\mu I_{n} é
AB = (\lambda\mu)\,I_{n},
que é uma matriz escalar com escalar \lambda\mu.

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