Se os operadores
são auto-adjuntos, prove que
é auto-adjunto. Que se pode dizer sobre
?
Passo 1
O enunciado: temos operadores lineares A, B: E → E num espaço com produto interno, e sabemos que A* = A e B* = B. Precisamos provar que o operador AB + BA é auto-adjunto, isto é, que (AB + BA)* = AB + BA, e então ver o que ocorre com AB − BA.
Passo 2
Recordando definições e propriedades: um operador T é auto-adjunto se T* = T. Além disso valem as regras de adjunto para soma e produto:
- Soma:
, - Produto:
.
Passo 3
Aplicando a regra do adjunto à soma AB + BA:
Passo 4
e usando a regra do adjunto de produto e o fato de A* = A e B* = B:
Passo 5
Como BA + AB = AB + BA, concluímos que (AB + BA)* = AB + BA, logo AB + BA é auto-adjunto.
Passo 6
Agora analisamos AB − BA. Calculamos o adjunto:
Passo 7
Portanto AB − BA satisfaz (AB − BA)* = −(AB − BA), ou seja, é anti-auto-adjunto (skew-adjunto).
Resposta
O operador AB + BA é auto-adjunto e o operador AB − BA é anti-auto-adjunto (skew-adjunto).