Se os operadores A, B: E E são auto-adjuntos, prove que A B+B A é auto-adjunto. Que se pode dizer sobre A B-B A ?

Passo 1

O enunciado: temos operadores lineares A, B: E → E num espaço com produto interno, e sabemos que A* = A e B* = B. Precisamos provar que o operador AB + BA é auto-adjunto, isto é, que (AB + BA)* = AB + BA, e então ver o que ocorre com AB − BA.

Passo 2

Recordando definições e propriedades: um operador T é auto-adjunto se T* = T. Além disso valem as regras de adjunto para soma e produto:
  • Soma: (S + T)^* = S^* + T^*,
  • Produto: (ST)^* = T^* S^*.

Passo 3

Aplicando a regra do adjunto à soma AB + BA:
(AB + BA)^* = (AB)^* + (BA)^*

Passo 4

e usando a regra do adjunto de produto e o fato de A* = A e B* = B:
(AB)^* + (BA)^* = B^* A^* + A^* B^* = BA + AB

Passo 5

Como BA + AB = AB + BA, concluímos que (AB + BA)* = AB + BA, logo AB + BA é auto-adjunto.

Passo 6

Agora analisamos AB − BA. Calculamos o adjunto:
(AB - BA)^* = (AB)^* - (BA)^* = B^* A^* - A^* B^* = BA - AB = -(AB - BA)

Passo 7

Portanto AB − BA satisfaz (AB − BA)* = −(AB − BA), ou seja, é anti-auto-adjunto (skew-adjunto).

Resposta

O operador AB + BA é auto-adjunto e o operador AB − BA é anti-auto-adjunto (skew-adjunto).

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