Sejam
involuções auto-adjuntas. Prove que
é uma involução auto-adjunta se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado diz que temos dois operadores lineares
e
sobre um espaço pré-Hilbertiano
, ambos satisfazendo
,
(involuções) e
,
(auto-adjuntos). Precisamos mostrar que o produto
também é uma involução auto-adjunta se, e somente se,
e
comutam.
Passo 2
Vamos primeiro mostrar que se
é auto-adjunta, então
e
comutam. Como
é auto-adjunta, vale
Mas pela propriedade do adjunto de um produto,
Logo temos
, ou seja,
e
comutam.
Passo 3
Agora, no sentido recíproco, assumimos
e mostramos que
é involução auto-adjunta. Primeiro, o adjunto de
é
e, como estamos assumindo
, concluímos
, isto é,
é auto-adjunta. Em seguida, para verificar que
é involução, calculamos
Usando
ficamos com
Portanto
, e assim
é involução.
Passo 4
Concluímos que
é auto-adjunta e involutivo exatamente quando
e
comutam.