Sejam S, T in L(E) involuções auto-adjuntas. Prove que S T é uma involução auto-adjunta se, e somente se, ST=TS.

Passo 1

O enunciado diz que temos dois operadores lineares S e T sobre um espaço pré-Hilbertiano E, ambos satisfazendo S^2=I, T^2=I (involuções) e S^*=S, T^*=T (auto-adjuntos). Precisamos mostrar que o produto ST também é uma involução auto-adjunta se, e somente se, S e T comutam.

Passo 2

Vamos primeiro mostrar que se ST é auto-adjunta, então S e T comutam. Como ST é auto-adjunta, vale
(ST)^* = ST
Mas pela propriedade do adjunto de um produto,
(ST)^* = T^* S^* = TS
Logo temos TS = ST, ou seja, S e T comutam.

Passo 3

Agora, no sentido recíproco, assumimos TS = ST e mostramos que ST é involução auto-adjunta. Primeiro, o adjunto de ST é
(ST)^* = T^* S^* = TS
e, como estamos assumindo TS = ST, concluímos (ST)^* = ST, isto é, ST é auto-adjunta. Em seguida, para verificar que ST é involução, calculamos
(ST)^2 = STST = S(TS)T
Usando TS = ST ficamos com
(ST)^2 = S(ST)T = (SS)(TT) = I,I = I
Portanto (ST)^2 = I, e assim ST é involução.

Passo 4

Concluímos que ST é auto-adjunta e involutivo exatamente quando S e T comutam.

Resposta

ST é involução auto-adjunta se, e somente se, ST = TS.

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