Podemos definir uma correspondência biunívoca entre os elementos de
e
por
Mostre que se
e
, então
(a)
para qualquer escalar
.
(b)
.
[Em geral, dois espaços vetoriais são ditos isomórficos se seus elementos podem ser postos em uma correspondência biunívoca, que é preservada sob multiplicação por escalar e adição como em (a) e (b).]
(a)
(b)
[Em geral, dois espaços vetoriais são ditos isomórficos se seus elementos podem ser postos em uma correspondência biunívoca, que é preservada sob multiplicação por escalar e adição como em (a) e (b).]
Passo 1
O enunciado define o espaço
de todos os polinômios de grau estritamente menor que
e estabelece a correspondência biunívoca
O que queremos mostrar é que essa bijeção preserva as operações de espaço vetorial, ou seja:
(a) multiplicação por escalar e
(b) soma de vetores.
(a) multiplicação por escalar e
(b) soma de vetores.
Passo 2
Para (a), seja
com
Multiplicando
pelo escalar
, obtemos
cujo vetor de coeficientes é
Logo
.
Passo 3
Para (b), sejam
e
com
A soma é
e o vetor de coeficientes correspondente é
Assim
.
Resposta
(a)
.
(b) .
(b)