Podemos definir uma correspondência biunívoca entre os elementos de Pn e R^n por
& p(x)=a1+a2 x+cdots+an x^n-1 & rightarrow(a1, ldots, an)^T=a
Mostre que se p rightarrow a e q rightarrow b, então
(a) alpha p rightarrow alpha a para qualquer escalar alpha.
(b) p+q rightarrow a+b.
[Em geral, dois espaços vetoriais são ditos isomórficos se seus elementos podem ser postos em uma correspondência biunívoca, que é preservada sob multiplicação por escalar e adição como em (a) e (b).]

Passo 1

O enunciado define o espaço Pn de todos os polinômios de grau estritamente menor que n e estabelece a correspondência biunívoca
p(x)=a1+a2x+cdots+anx^n-1 long<=ftrightarrow a=(a1,ldots,an)^TinR^n
O que queremos mostrar é que essa bijeção preserva as operações de espaço vetorial, ou seja:
(a) multiplicação por escalar e
(b) soma de vetores.

Passo 2

Para (a), seja prightarrowa com
p(x)=a1+a2x+cdots+anx^n-1
Multiplicando p pelo escalar alpha, obtemos
(alpha p)(x) =alpha,a1+alpha,a2x+cdots+alpha,anx^n-1,
cujo vetor de coeficientes é
(alpha,a1,alpha,a2,dots,alpha,an)^T =alpha,(a1,a2,dots,an)^T =alpha,a
Logo alpha prightarrowalphaa.

Passo 3

Para (b), sejam prightarrowa e qrightarrowb com
p(x)=a1+a2x+cdots+anx^n-1, q(x)=b1+b2x+cdots+bnx^n-1
A soma é
(p+q)(x) =(a1+b1)+(a2+b2)x+cdots+(an+bn)x^n-1,
e o vetor de coeficientes correspondente é
(a1+b1,,a2+b2,dots,an+bn)^T =a+b
Assim (p+q)rightarrowa+b.

Resposta

(a) alpha prightarrowalphaa.
(b) p+qrightarrowa+b.

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