1.6 Uma Progressão Aritmética (P.A.) com primeiro termo a1 e razão r é uma seqüência de números cujo primeiro elemento é a1 e tal que
cada elemento, a partir do segundo, é igual ao anterior mais a razão. Em símbolos, se n >= 2, an=an-1+r
a) Prove por indução sobre n que an=a1+(n-1) r;
b) Se Sn=a1+a2+cdots+an, prove por indução sobre n que
Sn=n(a1+an)2

Passo 1

Temos uma P.A. de primeiro termo a1 e razão r. Vamos usar indução matemática para mostrar duas fórmulas: a do termo geral an e a da soma Sn. O princípio de indução exige verificar o caso base e depois o passo indutivo.

Passo 2

Base da indução para a fórmula de an: para n=1, a definição da P.A. dá exatamente a1. A fórmula candidata é
a1 = a1 + (1-1)r = a1 + 0 = a1
logo o caso base vale.

Passo 3

Passo indutivo para a fórmula de an: suponha que para algum k>=1 valha
ak = a1 + (k-1)r
Pelo enunciado,
ak+1 = ak + r
Substituindo a hipótese indutiva,
ak+1 = (a1 + (k-1)r) + r = a1 + kr,
o que é exatamente a1 + ((k+1)-1)r. Assim, por indução, an = a1 + (n-1)r para todo n.

Passo 4

Base da indução para a soma Sn: para n=1, temos S1 = a1. A fórmula candidata é
S1 = 1,(a1 + a1)2 = a1,
então o caso base está OK.

Passo 5

Passo indutivo para a soma Sn: suponha que para algum k>=1
Sk = k(a1 + ak)2
Então
Sk+1 = Sk + ak+1 = k(a1 + ak)2 + ak+1
Como já sabemos que ak = a1 + (k-1)r e ak+1 = a1 + kr, reescrevemos:
Sk+1 = kl(2a1 + (k-1)rr) + 2l(a1 + krr)2
No numerador temos
k(2a1 + (k-1)r) + 2(a1 + kr) = 2(k+1)a1 + k(k+1)r = (k+1)(2a1 + kr)
Portanto
Sk+1 = (k+1)(2a1 + kr)2 = (k+1)(a1 + ak+1)2
Isso completa o passo indutivo. Por indução, vale Sn = tfracn(a1 + an)2 para todo n.

Resposta

a) an = a1 + (n-1)r. b) Sn = tfracn(a1 + an)2.

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