1.6 Uma Progressão Aritmética (P.A.) com primeiro termo
e razão
é uma seqüência de números cujo primeiro elemento é
e tal que
cada elemento, a partir do segundo, é igual ao anterior mais a razão. Em símbolos, se
a) Prove por indução sobre
que
;
b)
Se
, prove por indução sobre
que
cada elemento, a partir do segundo, é igual ao anterior mais a razão. Em símbolos, se
a) Prove por indução sobre
b)
Passo 1
Temos uma P.A. de primeiro termo
e razão
. Vamos usar indução matemática para mostrar duas fórmulas: a do termo geral
e a da soma
. O princípio de indução exige verificar o caso base e depois o passo indutivo.
Passo 2
Base da indução para a fórmula de
: para
, a definição da P.A. dá exatamente
. A fórmula candidata é
logo o caso base vale.
Passo 3
Passo indutivo para a fórmula de
: suponha que para algum
valha
Pelo enunciado,
Substituindo a hipótese indutiva,
o que é exatamente
. Assim, por indução,
para todo
.
Passo 4
Base da indução para a soma
: para
, temos
. A fórmula candidata é
então o caso base está OK.
Passo 5
Passo indutivo para a soma
: suponha que para algum
Então
Como já sabemos que
e
, reescrevemos:
No numerador temos
Portanto
Isso completa o passo indutivo. Por indução, vale
para todo
.
Resposta
a)
. b)
.