Prove por indução que:
b)
para todo
;
b)
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução, que
para todo
. O conteúdo usado é o Princípio da Indução Matemática, que exige verificar a base e depois o passo indutivo.
Passo 2
Base da indução: vamos verificar o caso
. Calculamos
e
. Como
, a propriedade vale para
.
Passo 3
Passo indutivo: suponha que para algum
valha
(hipótese de indução). Precisamos mostrar que
.
Usando a hipótese de indução, temos
Usando a hipótese de indução, temos
Como
implica
, temos
. Logo
Isso completa o passo indutivo.
Passo 4
Portanto, pela base e pelo passo indutivo, deduzimos que
vale para todo
.
Resposta
Para todo
, concluímos que
.