Prove por indução que:
b) n!>= 3^n para todo n >= 7;

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução, que n!>= 3^n para todo n>=7. O conteúdo usado é o Princípio da Indução Matemática, que exige verificar a base e depois o passo indutivo.

Passo 2

Base da indução: vamos verificar o caso n=7. Calculamos 7! = 5040 e 3^7 = 2187. Como 5040 >= 2187, a propriedade vale para n=7.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que para algum k>=7 valha k! >= 3^k (hipótese de indução). Precisamos mostrar que (k+1)! >= 3^k+1.
Usando a hipótese de indução, temos
(k+1)! = (k+1)cdot k! >= (k+1)cdot 3^k
Como k>=7 implica k+1>=8, temos (k+1)>=3. Logo
(k+1)cdot 3^k >= 3cdot 3^k = 3^k+1
Isso completa o passo indutivo.

Passo 4

Portanto, pela base e pelo passo indutivo, deduzimos que n!>=3^n vale para todo n>=7.

Resposta

Para todo n>=7, concluímos que n!>=3^n.

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