Sejam
um anel, a e belementos de
e
e
números naturais. Mostre que:
b)
,
b)
Passo 1
O enunciado quer mostrar que, num anel
e para
e naturais
, vale a igualdade
. O conteúdo principal aqui é a definição de potência em anel e o método de prova por indução.
Passo 2
Precisamos lembrar que em um anel a potência de um elemento
é definida recursivamente:
e, para todo natural
,
.
Passo 3
Vamos provar por indução em
:
Base da indução ( ): temos
Base da indução (
Então a propriedade vale para
.
Passo 4
Passo indutivo: suponha que para algum
já saibamos
Então para
segue:
Isso mostra que, se vale para
, vale também para
.
Passo 5
Pelo princípio de indução, a igualdade
vale para todo natural
.