Sejam A um anel, a e belementos de A backslash0 e m e n números naturais. Mostre que:
b) ,

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, num anel A e para ain Asetminus0 e naturais m,n, vale a igualdade (a^n)^m = a^ncdot m. O conteúdo principal aqui é a definição de potência em anel e o método de prova por indução.

Passo 2

Precisamos lembrar que em um anel a potência de um elemento a é definida recursivamente: a^1 = a e, para todo natural k, a^k+1 = a^k cdot a.

Passo 3

Vamos provar por indução em m:
Base da indução ( m=1): temos
(a^n)^1 = a^n = a^ncdot 1
Então a propriedade vale para m=1.

Passo 4

Passo indutivo: suponha que para algum k>=1 já saibamos
(a^n)^k = a^ncdot k
Então para m = k+1 segue:
(a^n)^k+1 = (a^n)^k cdot a^n = a^ncdot k cdot a^n = a^ncdot k + n = a^n,(k+1)
Isso mostra que, se vale para k, vale também para k+1.

Passo 5

Pelo princípio de indução, a igualdade (a^n)^m = a^ncdot m vale para todo natural m.

Resposta

(a^n)^m = a^ncdot m