1.7 Uma Progressão Geométrica (P.G.) com primeiro termo a1 e razão q(q neq 0 e q neq 1) é uma seqüência de números cujo primeiro elemento é a1 e tal que, cada elemento, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado pela razão. Em símbolos, se n >= 2, an=an-1 cdot q
a) Prove por indução sobre n que an=a1 cdot q^n-1;
b) Se Sn=a1+a2+cdots+an, prove por indução sobre n que
Sn=an cdot q-a1q-1

Passo 1

O enunciado define uma Progressão Geométrica (P.G.) de primeiro termo a1 e razão q (com qneq0 e qneq1), e pede para provar, usando indução em n:
Queremos mostrar que:
an = a1 cdot q^n-1
e que, se Sn = a1 + a2 + cdots + an, então:
Sn = an cdot q - a1q-1

Passo 2

Para a parte (a), base da indução ( n=1): basta verificar que
inline temos a1 = a1 cdot q^1-1, pois q^1-1=q^0=1. Então a fórmula vale para n=1 sem mistério.

Passo 3

Ainda na parte (a), passo indutivo: suponha que para algum k>=1 valha
inline ak = a1 cdot q^k-1.
Como ak+1 = ak cdot q pela definição de P.G., substituindo a hipótese:
inline
ak+1 = (a1 cdot q^k-1) cdot q = a1 cdot q^k,
que é exatamente a forma desejada para n=k+1. Assim a parte (a) está provada por indução.

Passo 4

Para a parte (b), base da indução ( n=1): temos S1 = a1. Já a fórmula dá
inline
a1 cdot q - a1q-1 = a1 cdot q-1q-1 = a1,
logo confere perfeitamente.

Passo 5

Passo indutivo da parte (b): suponha que para k>=1
inline
Sk = ak cdot q - a1q-1
Então
inline
Sk+1 = Sk + ak+1 = ak cdot q - a1q-1 + ak+1
Como ak+1 = ak q, escrevemos
inline
Sk+1 = ak q - a1 + ak q (q-1)q-1 = ak q + ak q^2 - ak q - a1q-1 = ak+1 cdot q - a1q-1,
que é a fórmula desejada para n=k+1. Portanto a soma também está provada por indução.

Passo 6

Concluímos que, para todo n>=1, valem as duas fórmulas pedidas por indução.

Resposta

a_n = a_1 \cdot q^{n-1}, S_n = \frac{a_n \cdot q - a_1}{q-1}

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