1.7 Uma Progressão Geométrica (P.G.) com primeiro termo
e razão
e
é uma seqüência de números cujo primeiro elemento é
e tal que, cada elemento, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado pela razão. Em símbolos, se
a) Prove por indução sobre
que
;
b)
, prove por indução sobre
que
a) Prove por indução sobre
b)
Passo 1
O enunciado define uma Progressão Geométrica (P.G.) de primeiro termo
e razão
(com
e
), e pede para provar, usando indução em
:
Queremos mostrar que:
e que, se
, então:
Passo 2
Para a parte (a), base da indução (
): basta verificar que
inline temos
, pois
. Então a fórmula vale para
sem mistério.
Passo 3
Ainda na parte (a), passo indutivo: suponha que para algum
valha
inline
.
Como
pela definição de P.G., substituindo a hipótese:
inline
que é exatamente a forma desejada para
. Assim a parte (a) está provada por indução.
Passo 4
Para a parte (b), base da indução (
): temos
. Já a fórmula dá
inline
logo confere perfeitamente.
Passo 5
Passo indutivo da parte (b): suponha que para
inline
Então
inline
Como
, escrevemos
inline
que é a fórmula desejada para
. Portanto a soma também está provada por indução.
Passo 6
Concluímos que, para todo
, valem as duas fórmulas pedidas por indução.
Resposta
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}, S_n = \frac{a_n \cdot q - a_1}{q-1}