Sejam
um anel, a e belementos de
e
e
números naturais. Mostre que:
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que em um anel A, para todo elemento non-zero a e naturais n e m, vale a propriedade de potências
. O conteúdo aqui é definição e propriedades de exponenciação em anéis, e vamos usar a definição recursiva de
.
Passo 2
Em anéis, definimos:
Essa definição é fundamental para tratar potências.
Passo 3
Vamos fazer prova por indução em
, mantendo
fixo.
Passo 4
Caso base (
):
De um lado temos
De um lado temos
De outro,
Logo,
.
Passo 5
Passo indutivo: suponha que para algum
valha
. Precisamos mostrar que
Usando a definição de potência, temos
Como a multiplicação é associativa em anéis,
E por associatividade novamente,
Pela hipótese de indução (aplicada a
e
), temos
Portanto, concluímos o passo indutivo.
Passo 6
Com base no caso base e no passo indutivo, por indução em
a igualdade
vale para todo
.