Sejam A um anel, a e belementos de A backslash0 e m e n números naturais. Mostre que:
a) a^n cdot a^m=a^n+m

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que em um anel A, para todo elemento non-zero a e naturais n e m, vale a propriedade de potências a^ncdot a^m = a^n+m. O conteúdo aqui é definição e propriedades de exponenciação em anéis, e vamos usar a definição recursiva de a^k.

Passo 2

Em anéis, definimos:
a^0 = 1,
a^k+1 = a cdot a^k para todo k>=0
Essa definição é fundamental para tratar potências.

Passo 3

Vamos fazer prova por indução em m, mantendo n fixo.

Passo 4

Caso base ( m=0):
De um lado temos
a^n cdot a^0 = a^n cdot 1 = a^n
De outro,
a^n+0 = a^n
Logo, a^ncdot a^0 = a^n+0.

Passo 5

Passo indutivo: suponha que para algum m>=0 valha a^n cdot a^m = a^n+m. Precisamos mostrar que
a^n cdot a^m+1 = a^n+(m+1)
Usando a definição de potência, temos
a^n cdot a^m+1 = a^n cdot (a cdot a^m)
Como a multiplicação é associativa em anéis,
a^n cdot (a cdot a^m) = (a^n cdot a) cdot a^m
E por associatividade novamente,
(a^n cdot a) cdot a^m = a^n+1 cdot a^m
Pela hipótese de indução (aplicada a n+1 e m), temos
a^n+1 cdot a^m = a^(n+1)+m = a^n + (m+1)
Portanto, concluímos o passo indutivo.

Passo 6

Com base no caso base e no passo indutivo, por indução em m a igualdade a^n cdot a^m = a^n+m vale para todo minN.

Resposta

a^n cdot a^m = a^n+m

Exercícios de Livros Relacionados