Sejam
um anel, a e belementos de
e
e
inteiros. Verifique que:
d)
d)
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, num anel A, a multiplicação de um inteiro m pelo somatório de dois elementos a e b distribui, ou seja, m(a+b)=ma+mb. Vamos usar a definição de m⋅x via soma repetida e propriedades do anel, recorrendo a uma prova por indução para m≥0 e depois tratando m<0.
Passo 2
Definimos para m≥0 o produto m⋅x como soma repetida:
Fazemos indução em m≥0. Caso base: m=0. Temos
Passo indutivo: suponha m(a+b)=ma+mb. Então
Passo 3
Para m<0 escrevemos m=-k com k>0. Usando a definição em anel,
Como já provamos para positivos, k(a+b)=ka+kb. Logo
Resposta
Para todo inteiro m e elementos a,b de A vale m(a+b)=ma+mb.