Sejam A um anel, a e belementos de A e m e n inteiros. Verifique que:
d) m(a+b)=m a+m b

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, num anel A, a multiplicação de um inteiro m pelo somatório de dois elementos a e b distribui, ou seja, m(a+b)=ma+mb. Vamos usar a definição de m⋅x via soma repetida e propriedades do anel, recorrendo a uma prova por indução para m≥0 e depois tratando m<0.

Passo 2

Definimos para m≥0 o produto m⋅x como soma repetida:
0cdot x=0, (m+1)cdot x=mcdot x+x
Fazemos indução em m≥0. Caso base: m=0. Temos
0cdot(a+b)=0=0+0=0cdot a+0cdot b
Passo indutivo: suponha m(a+b)=ma+mb. Então
(m+1)(a+b)=m(a+b)+(a+b)=(ma+mb)+(a+b)=(ma+a)+(mb+b)=(m+1)a+(m+1)b

Passo 3

Para m<0 escrevemos m=-k com k>0. Usando a definição em anel,
m(a+b)=(-k)(a+b)=-(k(a+b))
Como já provamos para positivos, k(a+b)=ka+kb. Logo
m(a+b)=-(ka+kb)=-ka-kb=m a+m b

Resposta

Para todo inteiro m e elementos a,b de A vale m(a+b)=ma+mb.

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