Prove que, se um círculo for dividido em um numero qualquer de arcos iguais, então as cordas destes arcos formam um polígono regular inscrito no circulo, e as tangentes traçadas pelos pontos de separação dos arcos forma um polígono regular que circunscreve o círculo.

Passo 1

O enunciado diz que num círculo escolhemos n pontos A1,A2,dots,An dividindo a circunferência em arcos iguais de medida tfrac2pin. As cordas AiAi+1 formam um polígono inscrito, e as tangentes em cada Ai formam um polígono circunscrito. Vamos usar:
  1. Em um círculo, cordas que subtendem ângulos centrais iguais são congruentes.
  2. A medida de um ângulo interno de um polígono inscrito pode ser obtida como metade da diferença entre 2pi e os dois arcos adjacentes.
  3. A circunferência é invariante por rotações em torno do centro; isso transfere tangentes e interseções de tangentes.

Passo 2

Como cada arco AiAi+1 tem medida tfrac2pin, os ângulos centrais
ang<= Ai O Ai+1 = tfrac2pin
são todos iguais. Logo as cordas AiAi+1 são todas congruentes.
Para o ângulo interno em Ai+1 do polígono inscrito, note que ele subtende o arco complementar de comprimento
2pi - 2cdot tfrac2pin =2pil(1-tfrac2nr)
O seu valor é metade disso, ou seja
pi - tfrac2pin,
igual para todo i. Concluímos que o polígono inscrito é equilátero e equiangular, portanto regular.

Passo 3

Chame Ti a interseção da tangente em Ai com a tangente em Ai+1. Considere a rotação R de centro O e ângulo tfrac2pin.
R leva Ai em Ai+1.
– Logo leva a reta tangente em Ai à reta tangente em Ai+1.
– Consequentemente leva Ti em Ti+1.
Isso mostra que o polígono T1T2cdots Tn é invariante sob R, o que obriga todos os seus lados TiTi+1 e todos os seus ângulos internos a serem iguais. Assim ele também é regular.

Resposta

O polígono inscrito pelas cordas é regular, e o polígono circunscrito pelas tangentes também é regular.

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