Prove que, se um círculo for dividido em um numero qualquer de arcos iguais, então as cordas destes arcos formam um polígono regular inscrito no circulo, e as tangentes traçadas pelos pontos de separação dos arcos forma um polígono regular que circunscreve o círculo.
Passo 1
O enunciado diz que num círculo escolhemos
pontos
dividindo a circunferência em arcos iguais de medida
. As cordas
formam um polígono inscrito, e as tangentes em cada
formam um polígono circunscrito. Vamos usar:
- Em um círculo, cordas que subtendem ângulos centrais iguais são congruentes.
- A medida de um ângulo interno de um polígono inscrito pode ser obtida como metade da diferença entre
e os dois arcos adjacentes. - A circunferência é invariante por rotações em torno do centro; isso transfere tangentes e interseções de tangentes.
Passo 2
Como cada arco
tem medida
, os ângulos centrais
são todos iguais. Logo as cordas
são todas congruentes.
Para o ângulo interno em do polígono inscrito, note que ele subtende o arco complementar de comprimento
Para o ângulo interno em
O seu valor é metade disso, ou seja
igual para todo
. Concluímos que o polígono inscrito é equilátero e equiangular, portanto regular.
Passo 3
Chame
a interseção da tangente em
com a tangente em
. Considere a rotação
de centro
e ângulo
.
– leva
em
.
– Logo leva a reta tangente em à reta tangente em
.
– Consequentemente leva em
.
Isso mostra que o polígono é invariante sob
, o que obriga todos os seus lados
e todos os seus ângulos internos a serem iguais. Assim ele também é regular.
–
– Logo leva a reta tangente em
– Consequentemente leva
Isso mostra que o polígono
Resposta
O polígono inscrito pelas cordas é regular, e o polígono circunscrito pelas tangentes também é regular.