Prove que o subespaço vetorial gerado por um cone convexo
é o conjunto das diferenças
, onde
. Conclua que o conjunto das funções
que só assumem valores positivos é um conjunto de geradores de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o subespaço vetorial gerado por um cone convexo
coincide com o conjunto {
:
} e, em seguida, aplicar isso ao caso
, mostrando que tais funções geram
. Vamos usar a definição de cone convexo (fechado sob combinações positivas) e a noção de gerador (span).
Passo 2
Definimos
como o menor subespaço contendo
. Primeiro mostramos que todo vetor da forma
, com
, está em
. De fato, em qualquer espaço vetorial, se
, então
pertence a
porque é fechado sob soma e multiplicação escalar.
Passo 3
Agora provamos a recíproca: seja
. Então
pode ser escrito como combinação linear finita
Separe os coeficientes em positivos e negativos. Defina
Como
é um cone convexo, cada soma com coeficientes não negativos permanece em
, logo
. Observe então que
Isso mostra
como diferença de dois elementos de
, ou seja
.
Passo 4
Portanto
Para concluir, basta tomar
. Dada qualquer
, defina as funções
Elas satisfazem
e
Isso mostra que todo
é diferença de duas funções não-negativas, logo está em
.
Passo 5
Concluímos que o conjunto das funções que só assumem valores não-negativos gera
, como desejado.