Prove que o subespaço vetorial gerado por um cone convexo C subset E é o conjunto das diferenças u-v, onde u, v in C. Conclua que o conjunto das funções f: X R que só assumem valores positivos é um conjunto de geradores de F(X ; R).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o subespaço vetorial gerado por um cone convexo Csubset E coincide com o conjunto { u-v: u,vin C} e, em seguida, aplicar isso ao caso C=f:XtoBbb Rmid f(x)>=0, mostrando que tais funções geram F(X;Bbb R). Vamos usar a definição de cone convexo (fechado sob combinações positivas) e a noção de gerador (span).

Passo 2

Definimos span(C) como o menor subespaço contendo C. Primeiro mostramos que todo vetor da forma u-v, com u,vin C, está em span(C). De fato, em qualquer espaço vetorial, se u,vin Csubsetspan(C), então u-v=u+(-1)v pertence a span(C) porque é fechado sob soma e multiplicação escalar.

Passo 3

Agora provamos a recíproca: seja winspan(C). Então w pode ser escrito como combinação linear finita
w=sumi=1^klambdai ci, ciin C,;lambdaiinBbb R
Separe os coeficientes em positivos e negativos. Defina
u=sumlambdai>0lambdai ci, v=sumlambdai<0(-lambdai) ci
Como C é um cone convexo, cada soma com coeficientes não negativos permanece em C, logo nu,vin C. Observe então que
w=sumlambdai>0lambdai ci-sumlambdai<0(-lambdai)ci=nu-v
Isso mostra w como diferença de dois elementos de C, ou seja winu-v:u,vin C.

Passo 4

Portanto
span(C)=u-v:;u,vin C
Para concluir, basta tomar C=f:XtoBbb Rmid f(x)>=0. Dada qualquer g:XtoBbb R, defina as funções
g^+(x)=maxg(x),0, g^-(x)=max-g(x),0
Elas satisfazem g^+,g^-in C e
g=g^+ - g^-
Isso mostra que todo gin F(X;Bbb R) é diferença de duas funções não-negativas, logo está em span(C).

Passo 5

Concluímos que o conjunto das funções que só assumem valores não-negativos gera F(X;Bbb R), como desejado.

Resposta

span(C)=u-v:u,vin C e, no caso de funções f:XtoBbb R com f(x)>=0, esse conjunto gera todo F(X;Bbb R).

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