Um subespaço vetorial de
gerado por dois vetores não-colineares
,
chama-se um plano. Use um argumento geométrico para provar que se o vetor
não pertence ao plano gerado por u e
então
e
geram
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, no espaço vetorial
, o plano
gerado por dois vetores não-colineares
e
é um subespaço de dimensão 2, e que se um terceiro vetor
não está em
então
e
geram todo
. Vamos usar argumentos geométricos e o conceito de combinação linear.
Passo 2
Definimos o plano
como o subespaço gerado por
e
:
Como
e
não são colineares, concluímos que
.
Passo 3
Como
, a reta que passa por um vetor arbitrário
na direção de
, dada por
vai interceptar o plano
num único ponto. Assim, existe um escalar
tal que
Geometricamente, estamos “projetando”
no plano
ao longo da direção
.
Passo 4
Como
, podemos escrever
para alguns escalares
. Logo
Isto mostra que qualquer
é combinação linear de
, ou seja,
Passo 5
Portanto, pelo argumento geométrico de projeção e combinação linear, concluímos que
e
geram todo
.
Resposta
Os vetores
e
geram
.