Um subespaço vetorial de R^3 gerado por dois vetores não-colineares u, v chama-se um plano. Use um argumento geométrico para provar que se o vetor w in R^3 não pertence ao plano gerado por u e v então u, v e w geram R^3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no espaço vetorial R^3, o plano P gerado por dois vetores não-colineares u e v é um subespaço de dimensão 2, e que se um terceiro vetor w não está em P então u,v e w geram todo R^3. Vamos usar argumentos geométricos e o conceito de combinação linear.

Passo 2

Definimos o plano P como o subespaço gerado por u e v:
P = spanu, v = a cdot u + b cdot v : a,b in R
Como u e v não são colineares, concluímos que dim P = 2.

Passo 3

Como w notin P, a reta que passa por um vetor arbitrário xinR^3 na direção de -w, dada por
L = x - t cdot w : t in R,
vai interceptar o plano P num único ponto. Assim, existe um escalar alpha tal que
x - alpha cdot w in P
Geometricamente, estamos “projetando” x no plano P ao longo da direção w.

Passo 4

Como x - alpha cdot w in P, podemos escrever
x - alpha cdot w = a cdot u + b cdot v
para alguns escalares a,b. Logo
x = a cdot u + b cdot v + alpha cdot w
Isto mostra que qualquer xinR^3 é combinação linear de u,v,w, ou seja,
spanu,v,w = R^3

Passo 5

Portanto, pelo argumento geométrico de projeção e combinação linear, concluímos que u, v e w geram todo R^3.

Resposta

Os vetores u, v e w geram R^3.

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