25.74 Quantas associações podem ser nomeadas com as 24 letras do alfabeto grego se cada uma deve envolver três letras e nenhuma letra é repetida em outro nome?

Passo 1

O enunciado pede para dividir as 24 letras em associações de 3 letras, usando cada letra exatamente uma vez. Isso é um problema de particionar um conjunto de n=24 objetos em k=8 grupos de tamanho 3. Para resolver usamos técnicas de contagem de combinações e permutações.

Passo 2

Vamos escolher as letras de cada associação de forma sequencial, mas sem nos preocupar ainda com a “ordem” das associações. Primeiro escolhemos 3 das 24 letras, depois 3 das 21 restantes, e assim por diante até esgotar todas. Isso dá o produto de binomiais
binom243,binom213,binom183,binom153,binom123,binom93,binom63,binom33

Passo 3

Podemos simplificar esse produto usando a definição de binomial binomn3=n!3!(n-3)!. O produto telescopa no numerador em 24! e no denominador em (3!)^8, ficando
binom243binom213cdotsbinom33 =24!3!,21!,21!3!,18!cdots3!3!,0! =24!(3!)^8

Passo 4

No cálculo acima estamos contando cada ordenação das 8 associações como distinta (ou seja, qual associação escolhemos “primeiro”, “segundo”, etc.). Mas as associações não têm rótulo de ordem entre si, então precisamos dividir por 8! para não distinguir permutações entre grupos. Logo, o número final de particionamentos é
24!(3!)^8,8!

Resposta

boxed24!(3!)^8,8!

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