25.74 Quantas associações podem ser nomeadas com as 24 letras do alfabeto grego se cada uma deve envolver três letras e nenhuma letra é repetida em outro nome?
Passo 1
O enunciado pede para dividir as
letras em associações de
letras, usando cada letra exatamente uma vez. Isso é um problema de particionar um conjunto de
objetos em
grupos de tamanho
. Para resolver usamos técnicas de contagem de combinações e permutações.
Passo 2
Vamos escolher as letras de cada associação de forma sequencial, mas sem nos preocupar ainda com a “ordem” das associações. Primeiro escolhemos
das
letras, depois
das
restantes, e assim por diante até esgotar todas. Isso dá o produto de binomiais
Passo 3
Podemos simplificar esse produto usando a definição de binomial
. O produto telescopa no numerador em
e no denominador em
, ficando
Passo 4
No cálculo acima estamos contando cada ordenação das
associações como distinta (ou seja, qual associação escolhemos “primeiro”, “segundo”, etc.). Mas as associações não têm rótulo de ordem entre si, então precisamos dividir por
para não distinguir permutações entre grupos. Logo, o número final de particionamentos é