20.5
2 i é uma raiz da equação P(z)=2 z^3+3 z^2+8 z+12=0 ?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se 2i é raiz do polinômio P(z) = 2z^3 + 3z^2 + 8z + 12. Vamos usar o método de substituição direta e as propriedades de números complexos.

Passo 2

Para testar se 2i é raiz, substituímos z = 2i em P(z) e usamos i^2 = -1. Calculamos cada termo separadamente:
(2i)^3 = 8i^3 = 8( -i ) = -8i
(2i)^2 = 4i^2 = 4( -1 ) = -4
Agora montamos P(2i):
P(2i) = 2,(2i)^3 + 3,(2i)^2 + 8,(2i) + 12 = 2(-8i) + 3(-4) + 16i + 12
Simplificando:
2(-8i) + 16i = -16i + 16i = 0
3(-4) + 12 = -12 + 12 = 0
Como tanto a parte real quanto a imaginária somam zero, temos P(2i)=0.

Resposta

Sim. Ao substituir z=2i em P(z) obtemos P(2i)=0, logo 2i é raiz do polinômio.

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