Quando o Rei da Pérsia perguntou qual a recompensa que desejava, o inventor do jogo de xadrez pediu um grão de trigo para o primeiro quadrado do tabuleiro, dois para o segundo, quatro para o terceiro, oito para o quarto, e assim por diante, dobrando a quantidade para cada quadrado subsequente. Calcular o número total de grãos correspondentes aos 64 quadrados do tabuleiro.
TABULEIRO DE XADREZ
1 2 4 8 16 32 64 128

Passo 1

O enunciado pede o total de grãos de trigo num tabuleiro de xadrez de 64 quadrados, onde no primeiro quadrado há 1 grão, no segundo 2, no terceiro 4 e assim por diante, sempre dobrando. Isso é um caso clássico de soma de uma progressão geométrica finita.

Passo 2

Em uma progressão geométrica finita, se a1 é o primeiro termo, r a razão e n o número de termos, a soma Sn é dada por
Sn = a1 ,r^n - 1r - 1

Passo 3

Aqui temos a1 = 1, r = 2 e n = 64. Substituindo na fórmula:
S64 = 1cdot 2^64 - 12 - 1 = 2^64 - 1

Passo 4

Para obter o valor em decimal, lembramos que
2^64 = 18,446,744,073,709,551,616
portanto
S64 = 2^64 - 1 = 18,446,744,073,709,551,615

Resposta

O total de grãos é
2^64 - 1 = 18,446,744,073,709,551,615

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