Q 1.3. Represente P, Q, \overrightarrow{P Q}, \overrightarrow{Q P}, P+Q,-P,-Q, P-Q, 2 P e \frac{1}{2} P se
P=(0,0) e Q=(2,-1).

Passo 1

O enunciado dá os pontos (vetores posição) P e Q em \mathbb{R}^2 como
P = (0,0), \quad Q = (2,-1),
e pede várias operações vetoriais elementares (diferença, soma, oposto e múltiplos escalares). Vamos usar a definição de operações em coordenadas: se A=(x_A,y_A) e B=(x_B,y_B), então
\overrightarrow{AB}=B-A=(x_B-x_A,\;y_B-y_A),
A+B=(x_A+x_B,\;y_A+y_B),
-kA=(-k\,x_A,\;-k\,y_A).

Passo 2

Calculamos diretamente os vetores P e Q:
P=(0,0), \qquad Q=(2,-1).

Passo 3

Usamos a fórmula de diferença para \overrightarrow{PQ} e \overrightarrow{QP}:
\overrightarrow{PQ}=Q-P=(2-0,\,-1-0)=(2,-1),
\overrightarrow{QP}=P-Q=(0-2,\;0-(-1))=(-2,1).

Passo 4

Somamos P e Q coordenada a coordenada:
P+Q=(0+2,\;0+(-1))=(2,-1).

Passo 5

Calculamos os opostos -P e -Q como múltiplos escalares (com k=-1):
-P=(-1)\,P=(-1\cdot0,\,-1\cdot0)=(0,0),
-Q=(-1)\,Q=(-1\cdot2,\,-1\cdot(-1))=(-2,1).

Passo 6

Subtraímos Q de P:
P-Q=(0-2,\;0-(-1))=(-2,1).

Passo 7

Calculamos os múltiplos escalares 2P e \tfrac12P:
2P=(2\cdot0,\;2\cdot0)=(0,0),
\tfrac12P=\bigl(\tfrac12\cdot0,\;\tfrac12\cdot0\bigr)=(0,0).

Resposta

P = (0,0)
Q = (2,-1) \overrightarrow{PQ}=(2,-1) \overrightarrow{QP}=(-2,1) P+Q=(2,-1) -P=(0,0) -Q=(-2,1) P-Q=(-2,1) 2P=(0,0) \tfrac12P=(0,0)

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