Resolva a equação , admitindo que duas de suas raízes são simétricas em relação à adição.
Resolução: Temos:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v) (condição do problema)
Comparando-se (i) e (v), resulta:
Substituindo-se (v) e (vi) em (iii), resulta:
Substituindo-se este último resultado em (iv), vem:
De (vi) e (viii) resulta que r3 e r4 são as raízes da equação y^2-4 y+3=0, isto é, r3=1 e r4=3.
De (v) e (vii) resulta que r1 e r2 são as raízes da equação y^2-4=0, isto é, r1=2 e r2=-2.
Resposta: S=2,-2,1,3.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
x^4 - 4x^3 - x^2 + 16x - 12 = 0
sabendo que duas das raízes são simétricas em relação à adição (ou seja, se chamarmos essas duas raízes de r1 e r2, então r1+r2=0). O conteúdo que vamos usar é o teorema de Viète, que relaciona as somas e produtos das raízes aos coeficientes do polinômio.
Passo 2
Sejam r1,r2,r3,r4 as raízes da equação. Pelas fórmulas de Viète para
x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0=0
temos aqui a3=-4, a2=-1, a1=16, a0=-12 e, portanto: