Resolva a equação x^4-4 x^3-x^2+16 x-12=0, admitindo que duas de suas raízes são simétricas em relação à adição.
Resolução: Temos:
(i) r1+r2+r3+r4=-a3a4=4
(ii) r1 r2+r1 r3+r1 r4+r2 r3+r2 r4+r3 r4=a2a4=-1
(iii) r1 r2 r3+r1 r2 r4+r1 r3 r4+r2 r3 r4=-a1a4=-16
(iv) r1 r2 r3 r4=a0a4=-12
(v) r1+r2=0 (condição do problema)
Comparando-se (i) e (v), resulta:
(r1+r2)+r3+r4=4 Rightarrow r3+r4=4
Substituindo-se (v) e (vi) em (iii), resulta:
r1 r2 underbrace(r3+r4)4+r3 r4 underbrace(r1+r2)0=-16 Rightarrow r1 r2=-4
Substituindo-se este último resultado em (iv), vem:
(r1 r2) r3 r4=-12 Rightarrow-4 r3 r4=-12 Rightarrow r3 r4=3
De (vi) e (viii) resulta que r3 e r4 são as raízes da equação y^2-4 y+3=0, isto é, r3=1 e r4=3.
De (v) e (vii) resulta que r1 e r2 são as raízes da equação y^2-4=0, isto é, r1=2 e r2=-2.
Resposta: S=2,-2,1,3.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
x^4 - 4x^3 - x^2 + 16x - 12 = 0
sabendo que duas das raízes são simétricas em relação à adição (ou seja, se chamarmos essas duas raízes de r1 e r2, então r1+r2=0). O conteúdo que vamos usar é o teorema de Viète, que relaciona as somas e produtos das raízes aos coeficientes do polinômio.

Passo 2

Sejam r1,r2,r3,r4 as raízes da equação. Pelas fórmulas de Viète para
x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0=0
temos aqui a3=-4, a2=-1, a1=16, a0=-12 e, portanto:
r1+r2+r3+r4 = -a31 = 4,
r1r2 + r1r3 + r1r4 + r2r3 + r2r4 + r3r4 = a21 = -1,
r1r2r3 + r1r2r4 + r1r3r4 + r2r3r4 = -a11 = -16,
r1r2r3r4 = a01 = -12

Passo 3

Pela condição do enunciado temos
r1+r2 = 0
Usando isso na soma de todas as raízes,
(r1+r2) + (r3+r4) = 4 Rightarrow 0 + (r3+r4) = 4 Rightarrow r3 + r4 = 4

Passo 4

Na soma dos produtos de três raízes agrupamos:
r1r2(r3+r4) + r3r4(r1+r2) = -16
Substituindo r3+r4=4 e r1+r2=0
4,r1r2 + 0 = -16 Rightarrow r1r2 = -4

Passo 5

Do produto de todas as raízes:
r1r2 , r3r4 = -12
Como r1r2 = -4, segue
-4,r3r4 = -12 Rightarrow r3r4 = 3

Passo 6

Agora r3 e r4 são raízes do polinômio
y^2 - (r3+r4),y + r3r4 = 0 Longrightarrow y^2 - 4y + 3 = 0,
cuja solução é y=1 ou y=3. Logo
r3 = 1, r4 = 3

Passo 7

De modo análogo, r1 e r2 satisfazem
y^2 - (r1+r2),y + r1r2 = 0 Longrightarrow y^2 - 0cdot y -4 = 0 Longrightarrow y^2 -4 = 0,
cuja solução é y=2 ou y=-2. Portanto
r1 = 2, r2 = -2

Resposta

As raízes da equação são
2,,-2,,1,,3

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