Resolva o seguinte sistema geral invertendo a matriz de coeficientes e usando o Teorema 1.6.2.
x1+2 x2+x3 & =b1 x1-x2+x3 & =b2 x1+x2 & =b3
Use as fórmulas resultantes para encontrar a solução se
(a) b1=-1, b2=3, b3=4
(b) b1=5, b2=0, b3=0
(c) b1=-1, b b2=-1, b b3=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
x1+2x2+x3=b1, x1-x2+x3=b2, x1+x2=b3,
usando a inversa da matriz de coeficientes e o Teorema 1.6.2. O conteúdo é inversão de matrizes (cálculo de det A, cofatores, adjunta e A^-1) e, em seguida, multiplicar A^-1 pelo vetor l(b1,b2,b3r)^T.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes
A= 1 & 2 & 1 1 & -1 & 1 1 & 1 & 0
e calculamos seu determinante por expansão de Laplace na primeira linha:
det A =1cdotdet-1&11&0 -2cdotdet1&11&0 +1cdotdet1&-11&1 =1cdot(-1)-2cdot(-1)+1cdot(2)=3
Como det A=3neq0, A é invertível.

Passo 3

Calculamos a matriz dos cofatores C de A, obtemos a adjunta adj(A)=C^T e daí
A^-1=1det A,adj(A) =13 -1 & 1 & 3 1 & -1 & 0 2 & 1 & -3

Passo 4

Multiplicando A^-1 pelo vetor b=(b1,b2,b3)^T, achamos as fórmulas
x1=-b1+b2+3b33, x2=,b1-b2,3, x3=2b1+b2-3b33

Passo 5

(a) Para b1=-1, b2=3, b3=4:
x1=-(-1)+3+3cdot43=1+3+123=163, x2=-1-33=-43, x3=2(-1)+3-3cdot43=-113

Passo 6

(b) Para b1=5, b2=0, b3=0:
x1=-5+0+03=-53, x2=5-03=53, x3=2cdot5+0-03=103

Passo 7

(c) Para b1=-1, b2=-1, b3=3:
x1=-(-1)+(-1)+3cdot33=1-1+93=3, x2=-1-(-1)3=0, x3=2(-1)+(-1)-3cdot33=-4

Resposta

(a) l(x1,x2,x3r)=l(tfrac163,-tfrac43,-tfrac113r)
(b) l(x1,x2,x3r)=l(-tfrac53,tfrac53,tfrac103r)
(c) l(x1,x2,x3r)=(3,0,-4)

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