Quais dos seguintes conjuntos são subespaços vetoriais?
Os vetores de
cujas coordenadas formam uma progressão geométrica.
Os vetores de
Passo 1
Estamos analisando o conjunto S⊆ℝⁿ formado por todos os vetores cujas coordenadas (x₁,x₂,…,xₙ) estão em progressão geométrica. O conteúdo é subespaços vetoriais, e vamos precisar da definição: um subconjunto de ℝⁿ é subespaço se contiver o vetor zero, for fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, verificar o vetor zero: se tomamos a₁=0 e qualquer razão r, a sequência aₖ=0·r^{k-1} gera (0,0,…,0). Logo o vetor zero pertence a S.
Passo 3
Agora, fechamento em multiplicação por escalar: seja v=(a,ar,ar²,…,ar^{n-1})∈S. Para qualquer k∈ℝ, temos k·v=(k a, k a r, k a r²,…), que é novamente uma progressão geométrica com mesma razão r. Então S é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 4
Verificação de fechamento sob adição: tomemos v com razão r e w com razão s. Se r≠s, ao somar coordenada a(a+r+…+ar^{n-1}) com b(b+bs+…+bs^{n-1}) o quociente entre termos consecutivos não é constante. Por exemplo, em ℝ³ v=(1,2,4) (r=2) e w=(1,3,9) (s=3) somam v+w=(2,5,13), e 5/2≠13/5, logo v+w∉S. Portanto S não é fechado sob adição.
Passo 5
Como falha o fechamento sob adição, concluímos que S não satisfaz todas as condições de subespaço vetorial.
Resposta
O conjunto dos vetores cujas coordenadas formam uma progressão geométrica não é subespaço vetorial de ℝⁿ, pois não é fechado sob adição.