Considere os subespaços F1, F2 subset R^3 assim definidos: F1 é o conjunto de todos os vetores v=(x, x, x) que têm as três coordenadas iguais e F2 é o conjunto de todos os vetores w=(x, y, 0) que têm a última coordenada igual a zero. Mostre que R^3=F1 oplus F2.

Passo 1

O exercício pede para mostrar que dois subespaços F₁ e F₂ de ℝ³ formam uma soma direta, ou seja, que todo vetor em ℝ³ pode ser escrito de modo único como soma de um vetor em F₁ e um em F₂. Vamos usar a definição que diz: F₁⊕F₂=ℝ³ se e somente se F₁+F₂=ℝ³ e F₁∩F₂={0}.

Passo 2

Primeiro, confirmamos que F₁ e F₂ são de fato subespaços. F₁ = { (x,x,x) : x∈ℝ } é a reta gerada por (1,1,1), e F₂ = { (x,y,0) : x,y∈ℝ } é o plano z=0. Ambos contêm 0, são fechados sob soma e multiplicação escalar.

Passo 3

Agora, vamos achar F₁ ∩ F₂. Se um vetor (x,x,x) de F₁ pertence a F₂, então ele tem forma (a,b,0). Igualando coordenadas: x=a, x=b e x=0. Daqui vem x=0. Logo F₁∩F₂={ (0,0,0) }.

Passo 4

Em seguida, mostramos que F₁+F₂=ℝ³. Dado um vetor arbitrário (p,q,r) em ℝ³, podemos escolher v∈F₁ e w∈F₂ tais que v+w=(p,q,r). Basta tomar v=(r,r,r) e w=(p−r, q−r, 0). De fato, v∈F₁, w∈F₂ e v+w=(p,q,r). Assim toda tripleta é soma de elementos de F₁ e F₂.

Passo 5

Como vimos que F₁∩F₂ é apenas o zero e que F₁+F₂ cobre todo ℝ³, concluímos pela definição de soma direta que ℝ³ = F₁ ⊕ F₂.

Resposta

Como F₁+F₂=ℝ³ e F₁∩F₂={0}, temos de fato ℝ³ = F₁ ⊕ F₂.

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