Considere os subespaços
assim definidos:
é o conjunto de todos os vetores
que têm as três coordenadas iguais e
é o conjunto de todos os vetores
que têm a última coordenada igual a zero. Mostre que
.
Passo 1
O exercício pede para mostrar que dois subespaços F₁ e F₂ de ℝ³ formam uma soma direta, ou seja, que todo vetor em ℝ³ pode ser escrito de modo único como soma de um vetor em F₁ e um em F₂. Vamos usar a definição que diz: F₁⊕F₂=ℝ³ se e somente se F₁+F₂=ℝ³ e F₁∩F₂={0}.
Passo 2
Primeiro, confirmamos que F₁ e F₂ são de fato subespaços. F₁ = { (x,x,x) : x∈ℝ } é a reta gerada por (1,1,1), e F₂ = { (x,y,0) : x,y∈ℝ } é o plano z=0. Ambos contêm 0, são fechados sob soma e multiplicação escalar.
Passo 3
Agora, vamos achar F₁ ∩ F₂. Se um vetor (x,x,x) de F₁ pertence a F₂, então ele tem forma (a,b,0). Igualando coordenadas: x=a, x=b e x=0. Daqui vem x=0. Logo F₁∩F₂={ (0,0,0) }.
Passo 4
Em seguida, mostramos que F₁+F₂=ℝ³. Dado um vetor arbitrário (p,q,r) em ℝ³, podemos escolher v∈F₁ e w∈F₂ tais que v+w=(p,q,r). Basta tomar v=(r,r,r) e w=(p−r, q−r, 0). De fato, v∈F₁, w∈F₂ e v+w=(p,q,r). Assim toda tripleta é soma de elementos de F₁ e F₂.
Passo 5
Como vimos que F₁∩F₂ é apenas o zero e que F₁+F₂ cobre todo ℝ³, concluímos pela definição de soma direta que ℝ³ = F₁ ⊕ F₂.
Resposta
Como F₁+F₂=ℝ³ e F₁∩F₂={0}, temos de fato ℝ³ = F₁ ⊕ F₂.