Seja
o subconjunto de
formado pelas seqüências
que têm apenas um número finito de termos
diferentes de zero. Mostre que
é um subespaço vetorial de
e que as seqüências que têm um único termo não-nulo constituem um conjunto de geradores para
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
de todas as sequências reais com suporte finito é um subespaço de
e que as sequências que têm apenas um termo não nulo geram todo esse espaço. O conteúdo envolvido é teoria de espaços vetoriais: definição de subespaço (contém o vetor zero, fechado sob soma e multiplicação por escalar) e definição de gerador ou “span” de um conjunto de vetores.
Passo 2
Primeiro lembramos a definição de
: são todas as sequências
tais que só há um número finito de índices
com
. O vetor zero
claramente pertence a
pois não há termos não nulos. Sejam
e
duas sequências de suporte finito e
. O suporte de
está contido na união dos suportes de
e
, que é finita, então
. Similarmente,
tem suporte contido no suporte de
, logo é finito e
.
Como e o conjunto é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.
Como
Passo 3
Agora definimos, para cada índice
, a sequência
que é zero em todas as coordenadas, exceto em
, onde vale 1. Estas são exatamente as sequências com um único termo não nulo (quando o termo não nulo for qualquer
, é só usar
).
Dada uma sequência em
, podemos escrevê-la como combinação linear das
:
Dada uma sequência
Passo 4
Isso mostra que qualquer vetor de
está no span do conjunto de todas as sequências com um único termo não nulo. Portanto, esse conjunto é um conjunto de geradores de
.
Resposta
O conjunto
é um subespaço de
, pois contém o vetor zero e é fechado sob soma e escalar. Além disso, as sequências que têm um único termo não nulo geram todo
, pois qualquer sequência de suporte finito se escreve como combinação linear dessas.