Seja R^(infty) o subconjunto de R^infty formado pelas seqüências v= (x1, x2, ldots, xn, ldots) que têm apenas um número finito de termos xn diferentes de zero. Mostre que R^(infty) é um subespaço vetorial de R^infty e que as seqüências que têm um único termo não-nulo constituem um conjunto de geradores para R^(infty).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto R^(infty) de todas as sequências reais com suporte finito é um subespaço de R^infty e que as sequências que têm apenas um termo não nulo geram todo esse espaço. O conteúdo envolvido é teoria de espaços vetoriais: definição de subespaço (contém o vetor zero, fechado sob soma e multiplicação por escalar) e definição de gerador ou “span” de um conjunto de vetores.

Passo 2

Primeiro lembramos a definição de R^(infty): são todas as sequências v=(x1,x2,dots) tais que só há um número finito de índices n com xnneq0. O vetor zero (0,0,0,dots) claramente pertence a R^(infty) pois não há termos não nulos. Sejam u e v duas sequências de suporte finito e alphainR. O suporte de u+v está contido na união dos suportes de u e v, que é finita, então u+vinR^(infty). Similarmente, alpha v tem suporte contido no suporte de v, logo é finito e alpha vinR^(infty).
Como 0inR^(infty) e o conjunto é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que R^(infty) é um subespaço vetorial de R^infty.

Passo 3

Agora definimos, para cada índice ninN, a sequência e^(n) que é zero em todas as coordenadas, exceto em n, onde vale 1. Estas são exatamente as sequências com um único termo não nulo (quando o termo não nulo for qualquer alpha, é só usar alpha e^(n)).
Dada uma sequência v=(x1,x2,dots,xN,0,0,dots) em R^(infty), podemos escrevê-la como combinação linear das e^(n):
v = x1 e^(1) + x2 e^(2) + cdots + xN e^(N)

Passo 4

Isso mostra que qualquer vetor de R^(infty) está no span do conjunto de todas as sequências com um único termo não nulo. Portanto, esse conjunto é um conjunto de geradores de R^(infty).

Resposta

O conjunto R^(infty) é um subespaço de R^infty, pois contém o vetor zero e é fechado sob soma e escalar. Além disso, as sequências que têm um único termo não nulo geram todo R^(infty), pois qualquer sequência de suporte finito se escreve como combinação linear dessas.

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