Seja B=u1, ldots, un uma base do espaço vetorial V e seja C= u1, u1-u2, ldots, u1-un. Mostre que C é uma base de V e encontre a matriz de mudança de B para C.
Mas, se você observar, se observar profundamente, ficará surpreso. Você não existe! Não que você precise se dissolver! Simplesmente você não existe. Essa é apenas uma falsa noção que você tem carregado, a noção de que você existe. Alguns instantes de silêncio e de repente você percebe que há um vazio dentro de você, um nada dentro de você. Buda chamou esse nada de anatta, não-ser, shunya, nada. Se olhar para dentro, você não vai se encontrar. É por isso que as pessoas não olham para dentro de si; elas têm medo.
(Osho/Zen, p. 105)

Passo 1

O enunciado dá a base
;B=u1,dots,un
de um espaço vetorial V de dimensão n e define
;C=,c1,c2,dots,cn
onde
c1=u1, cj=u1-uj(j=2,dots,n)
Precisamos mostrar que C é base de V (isto é, é LI e tem n vetores) e encontrar a matriz de mudança de base de B para C, ou seja, a matriz M tal que
[v]C=M,[v]B
para todo vin V.

Passo 2

(Prova de independência linear) Suponha que
Substituindo
Como é base, é LI, logo os coeficientes de devem ser zero:
Das equações . Portanto todos os , e é LI.

Passo 3

Como C tem n vetores LI em V de dimensão n, conclui-se que C é base de V.

Passo 4

(Construção da matriz de mudança de B para C)
Queremos a matriz M cujas colunas são as coordenadas de cada uj (vetor de B) em relação à base C.
  • Para j=1: u1=c1, logo
    [u1]C=(1,0,0,dots,0)^T
  • Para j>=2:
uj =,u1-(u1-uj) =c1-cj,
logo
[uj]C=(1,0,dots,0,-1,0,dots,0)^T
(com -1 na posição j).
Assim a matriz M de dimensão ntimes n é
M= 1 & 1 & 1 & cdots & 1 0 & -1& 0 & cdots & 0 0 & 0 & -1& cdots & 0 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & 0 & cdots & -1 ,
onde a coluna j é [uj]C.

Resposta

A família C=u1,,u1-u2,dots,u1-un é base de V.
A matriz de mudança de base de B para C (tal que [v]C=M,[v]B) é
M= 1 & 1 & 1 & cdots & 1 0 & -1& 0 & cdots & 0 0 & 0 & -1& cdots & 0 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & 0 & cdots & -1

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