Seja uma base do espaço vetorial e seja . Mostre que é uma base de e encontre a matriz de mudança de para .
Mas, se você observar, se observar profundamente, ficará surpreso. Você não existe! Não que você precise se dissolver! Simplesmente você não existe. Essa é apenas uma falsa noção que você tem carregado, a noção de que você existe. Alguns instantes de silêncio e de repente você percebe que há um vazio dentro de você, um nada dentro de você. Buda chamou esse nada de anatta, não-ser, shunya, nada. Se olhar para dentro, você não vai se encontrar. É por isso que as pessoas não olham para dentro de si; elas têm medo.
(Osho/Zen, p. 105)
Passo 1
O enunciado dá a base
de um espaço vetorial de dimensão e define
onde
Precisamos mostrar que é base de (isto é, é LI e tem vetores) e encontrar a matriz de mudança de base de para , ou seja, a matriz tal que
para todo .
Passo 2
(Prova de independência linear) Suponha que
Substituindo
Como é base, é LI, logo os coeficientes de devem ser zero:
Das equações . Portanto todos os , e é LI.
Passo 3
Como C tem n vetores LI em V de dimensão n, conclui-se que C é base de V.
Passo 4
(Construção da matriz de mudança de B para C)
Queremos a matriz M cujas colunas são as coordenadas de cada uj (vetor de B) em relação à base C.
Para j=1: u1=c1, logo [u1]C=(1,0,0,dots,0)^T
Para j>=2:
uj =,u1-(u1-uj) =c1-cj,
logo [uj]C=(1,0,dots,0,-1,0,dots,0)^T
(com -1 na posição j).
Assim a matriz M de dimensão ntimes n é