Rotacione os eixos coordenados x y por um ângulo theta=60^circ no plano, no sentido anti-horário, para obter novos eixos coordenados x^prime y^prime. Encontre as coordenadas x y do ponto cujas coordenadas x^prime y^prime são (4,-4).
Faça um esboço geométrico dos eixos com respectivos pontos.

Passo 1

O enunciado pede para girar os eixos coordenados x,y em theta=60^circ no sentido anti-horário, obtendo novos eixos x',y'. Foi dado um ponto com coordenadas (x',y')=(4,-4) no sistema rotacionado e devemos descobrir suas coordenadas (x,y) no sistema original. Vamos usar a teoria de transformação de coordenadas por rotação de eixos.

Passo 2

Quando giramos os eixos em no sentido anti-horário, as coordenadas de um ponto no sistema original se obtêm aplicando à coluna a matriz de rotação . Em fórmula:

Passo 3

A matriz de rotação em theta anticlockwise é
R(theta) = costheta & -sintheta sintheta & costheta
Para theta=60^circ temos
R(60^circ) = tfrac12 & -tfracraiz32 tfracraiz32 & tfrac12

Passo 4

Multiplicando por l(x',y'r)=(4,-4):
x=tfrac12cdot4 + l(-tfracraiz32r)cdot(-4) =2 + 2raiz3,
y=tfracraiz32cdot4 + tfrac12cdot(-4) =2raiz3 - 2
Portanto,
(x,y)=l(2+2raiz3,;2raiz3-2r)approx(5,464,;1,464)

Passo 5

Para esboçar geometricamente:
Desenhe primeiro os eixos originais (horizontal para a direita) e (vertical para cima). A partir da mesma origem, trace o eixo fazendo ângulo de acima do eixo ; o eixo fica adiante de no sentido anti-horário (ou seja, em em relação ao eixo ). O ponto é obtido movendo-se unidades no sentido positivo de e, a partir daí, unidades no sentido negativo de . Esse mesmo ponto, visto no sistema original, cai em .
Esboço aproximado em ASCII:
       y
       |
       |      P (\(5,464\);\(1,464\))
       |       *
       |
       |
-------O-------------- x
      /
     /   x' (\(60\circ\))
    /
   /
y' (\(150\circ\))

Resposta

(x,y)=l(2+2raiz3,;2raiz3-2r).

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