Seja A: R^2 R^2 o operador cuja matriz na base canônica é
[cc 0 & 1 -1 & 0 ]
Prove que se
a=[ll a11 & a12 a21 & a22 ]
é a matriz de A relativamente a uma base qualquer de R^2 então a12 neq 0 ou a21 neq 0. (Noutras palavras, nenhuma matriz de A é diagonal.)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a matriz de A em qualquer base de ℝ² não pode ser diagonal, ou seja, não é possível ter simultaneamente a₁₂=0 e a₂₁=0. O conteúdo principal envolve diagonalização de operadores e autovalores/autovetores.

Passo 2

Se uma matriz representa A numa base qualquer e essa matriz fosse diagonal, então a base seria formada por autovetores de A. As entradas diagonais seriam os autovalores correspondentes, e não haveria termos fora da diagonal.

Passo 3

Na base canônica, A é dado por J= 0&1-1&0. Calculamos o polinômio característico:
det(J-lambda I)=-lambda&1-1&-lambda=lambda^2+1
Como lambda^2+1=0 não tem raízes reais, A não possui autovalores nem autovetores reais.

Passo 4

Logo, não existe base real que diagonalize A. Isso contradiz a hipótese de que a₁₂=0 e a₂₁=0 simultaneamente (o que forçaria uma diagonalização). Portanto, em qualquer base real, pelo menos um dos elementos fora da diagonal deve ser não nulo.

Resposta

Em qualquer base de ℝ², a matriz de A não pode ser diagonal, logo necessariamente a12neq0 ou a21neq0.

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