é a matriz de A relativamente a uma base qualquer de R^2 então a12 neq 0 ou a21 neq 0. (Noutras palavras, nenhuma matriz de A é diagonal.)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a matriz de A em qualquer base de ℝ² não pode ser diagonal, ou seja, não é possível ter simultaneamente a₁₂=0 e a₂₁=0. O conteúdo principal envolve diagonalização de operadores e autovalores/autovetores.
Passo 2
Se uma matriz representa A numa base qualquer e essa matriz fosse diagonal, então a base seria formada por autovetores de A. As entradas diagonais seriam os autovalores correspondentes, e não haveria termos fora da diagonal.
Passo 3
Na base canônica, A é dado por J=0&1-1&0. Calculamos o polinômio característico:
det(J-lambda I)=-lambda&1-1&-lambda=lambda^2+1
Como lambda^2+1=0 não tem raízes reais, A não possui autovalores nem autovetores reais.
Passo 4
Logo, não existe base real que diagonalize A. Isso contradiz a hipótese de que a₁₂=0 e a₂₁=0 simultaneamente (o que forçaria uma diagonalização). Portanto, em qualquer base real, pelo menos um dos elementos fora da diagonal deve ser não nulo.
Resposta
Em qualquer base de ℝ², a matriz de A não pode ser diagonal, logo necessariamente a12neq0 ou a21neq0.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Elon Lages Lima - Algebra Linear - 1ª Edição - Capítulo 8.Exercícios - Ex. 8.24