Dada a transformação linear , entre espaços de dimensão finita, sejam e subespaços tais que e . Tome bases e cujos primeiros elementos formam respectivamente uma base de e uma base . Que forma tem a matriz de relativamente a e ?
8.43. Sejam e B: transformações lineares entre espaços vetoriais de dimensão finita. Se B é injetiva, prove que o posto de BA é igual ao posto de A. Que condição sobre A assegura que o posto de seja igual ao de ?
Passo 1
O enunciado consiste em duas partes: (i) achar a forma da matriz de uma transformação linear quando escrevemos e e escolhemos bases compatíveis; (ii) provar que, para transformações e , se é injetiva então , e encontrar uma condição sobre que garanta . Vamos usar decomposições diretas, escolha de bases e o teorema da dimensão (rank–nullity).
Passo 2
Para a primeira parte, seja e . Então e , onde . Escolhemos a base de como
onde é base de e é base de . Em escolhemos
onde é base de e o resto é base de . Por escolha apropriada em , podemos fazer
para . Portanto, em blocos a matriz de relativa a fica
onde o bloco Ir vem da ação sobre E1 e todos os outros são zeros porque A(ui)=0 para i<= n0 e A(un0+j) não tem componente em F1.
Passo 3
Na segunda parte, seja B injetiva, então ker B=0. Temos