Dada a transformação linear A: E F, entre espaços de dimensão finita, sejam E1 subset E e F1 subset F subespaços tais que E= N(A) oplus E1 e F=Im(A) oplus F1. Tome bases U subset E e V subset F cujos primeiros elementos formam respectivamente uma base de N(A) e uma base de Im(A). Que forma tem a matriz de A relativamente a U e V ?
8.43. Sejam A: E F e B: F G transformações lineares entre espaços vetoriais de dimensão finita. Se B é injetiva, prove que o posto de BA é igual ao posto de A. Que condição sobre A assegura que o posto de B A seja igual ao de B ?

Passo 1

O enunciado consiste em duas partes: (i) achar a forma da matriz de uma transformação linear Acolon Eto F quando escrevemos E= N(A)oplus E1 e F=Im(A)oplus F1 e escolhemos bases compatíveis; (ii) provar que, para transformações Acolon Eto F e Bcolon Fto G, se B é injetiva então rank(BA)=rank(A), e encontrar uma condição sobre A que garanta rank(BA)=rank(B). Vamos usar decomposições diretas, escolha de bases e o teorema da dimensão (rank–nullity).

Passo 2

Para a primeira parte, seja dim N(A)=n0 e dimIm(A)=r. Então dim E=n0+r e dim F=r+f1, onde f1=dim F1. Escolhemos a base de E como
U=u1,dots,un0,,un0+1,dots,un0+r,
onde u1,dots,un0 é base de N(A) e un0+1,dots,un0+r é base de E1. Em F escolhemos
V=v1,dots,vr,,vr+1,dots,vr+f1,
onde v1,dots,vr é base de Im(A) e o resto é base de F1. Por escolha apropriada em E1, podemos fazer
A(un0+j)=vj,
para j=1,dots,r. Portanto, em blocos a matriz de A relativa a ( U, V) fica
[A] U, V= 0rtimes n0 & Ir 0f1times n0 & 0f1times r ,
onde o bloco Ir vem da ação sobre E1 e todos os outros são zeros porque A(ui)=0 para i<= n0 e A(un0+j) não tem componente em F1.

Passo 3

Na segunda parte, seja B injetiva, então ker B=0. Temos
ker(BA)=xin E:B(Ax)=0=x:A xinker B=x:Ax=0=ker A
Pelo teorema da dimensão,
rank(BA)=dim E-dimker(BA)=dim E-dimker A=rank(A)
Para que rank(BA)=rank(B), note que
rank(BA)=diml(B(Im(A))r) =dimIm(A)-diml(Im(A)capker Br)
e
rank(B)=dim F-dimker B
Como sempre Im(A)subseteq F, a igualdade só ocorre se
Im(A)=F,
out seja, se A for sobrejetiva.

Passo 4

A matriz de A nas bases escolhidas tem forma de bloco
0 & Ir 0 & 0
Além disso, se B é injetiva então
rank(BA)=rank(A),
e para garantir
rank(BA)=rank(B)
é necessário e suficiente que A seja sobrejetiva.

Resposta

  1. A matriz de A relativa às bases escolhidas em E e F é, em blocos,
0rtimes n0 & Ir 0f1times n0 & 0f1times r
  1. Se B é injetiva, então rank(BA)=rank(A). 3) Para que rank(BA)=rank(B) é preciso que A seja sobrejetiva.

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