Sejam
funcionais lineares no espaço vetorial
de dimensão
. Suponha que estes funcionais gerem em
uma variedade afim de dimensão
. Prove que o conjunto
, formado pelos vetores
tais que
é um subespaço vetorial de dimensão
.
Passo 1
O enunciado nos dá funcionais lineares
num espaço vetorial
de dimensão
, e diz que eles geram em
uma variedade afim de dimensão
. Queremos mostrar que
é um subespaço de dimensão
.
Nesse problema vamos usar: definição de variedade afim, subespaço gerado por diferenças de funcionais e a fórmula da dimensão do anulador de um subespaço em .
Nesse problema vamos usar: definição de variedade afim, subespaço gerado por diferenças de funcionais e a fórmula da dimensão do anulador de um subespaço em
Passo 2
Primeiro, vamos ver que
é de fato um subespaço:
- O vetor zero satisfaz
para todo , logo . - Se
, então e para todo . Como cada é linear,
e
Portanto
e
também estão em
.
Passo 3
Agora note que a condição “
” equivale a exigir
para todo
. Defina os funcionais
para
. Então
Passo 4
Como os funcionais
geram uma variedade afim de dimensão
em
, o subespaço vetorial gerado pelas diferenças
tem dimensão
. Isso decorre da definição de dimensão de variedade afim: uma variedade afim de dimensão
é um coset de um subespaço de dimensão
, e ao fixar um ponto (aqui
) a direção (as diferenças) tem dimensão
.
Passo 5
Finalmente, usamos a fórmula do anulador: para qualquer subespaço
, o conjunto
é um subespaço de
de dimensão
Como
e
, segue
Passo 6
Portanto
é um subespaço vetorial de dimensão
.