Sejam f1, ldots, fm: E R funcionais lineares no espaço vetorial E de dimensão n. Suponha que estes funcionais gerem em E^*= L(E ; R) uma variedade afim de dimensão r. Prove que o conjunto F, formado pelos vetores v in E tais que
f1(v)=f2(v)=cdots=fm(v),
é um subespaço vetorial de dimensão n-r+1.

Passo 1

O enunciado nos dá funcionais lineares f1,dots,fm:EtoBbb R num espaço vetorial E de dimensão n, e diz que eles geram em E^* uma variedade afim de dimensão r. Queremos mostrar que
F=vin Emid f1(v)=f2(v)=cdots=fm(v)
é um subespaço de dimensão n-r+1.
Nesse problema vamos usar: definição de variedade afim, subespaço gerado por diferenças de funcionais e a fórmula da dimensão do anulador de um subespaço em E.

Passo 2

Primeiro, vamos ver que F é de fato um subespaço:
  • O vetor zero satisfaz fi(0)=0 para todo i, logo 0in F.
  • Se v,win F, então fi(v)=fj(v) e fi(w)=fj(w) para todo i,j. Como cada fi é linear,
fi(v+w)=fi(v)+fi(w)=fj(v)+fj(w)=fj(v+w)
e
fi(lambda v)=lambda fi(v)=lambda fj(v)=fj(lambda v)
Portanto v+w e lambda v também estão em F.

Passo 3

Agora note que a condição “ f1(v)=f2(v)=cdots=fm(v)” equivale a exigir
fi(v)-f1(v)=0,
para todo i=2,dots,m. Defina os funcionais
varphii = fi - f1,
para i=2,dots,m. Então
F=capi=2^m kervarphii

Passo 4

Como os funcionais f1,dots,fm geram uma variedade afim de dimensão r em E^*, o subespaço vetorial gerado pelas diferenças
V=spanvarphi2,dots,varphim
tem dimensão r-1. Isso decorre da definição de dimensão de variedade afim: uma variedade afim de dimensão r é um coset de um subespaço de dimensão r, e ao fixar um ponto (aqui f1) a direção (as diferenças) tem dimensão r-1.

Passo 5

Finalmente, usamos a fórmula do anulador: para qualquer subespaço Vsubset E^*, o conjunto
V^circ=vin Emid phi(v)=0 forallphiin V
é um subespaço de E de dimensão
dim V^circ = dim E - dim V
Como F=V^circ e dim V=r-1, segue
dim F = n - (r-1) = n - r + 1

Passo 6

Portanto F é um subespaço vetorial de dimensão n-r+1).

Resposta

dim F = n - r + 1.

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