Seja L: P_{1} \rightarrow P_{3} definida por L[p(t)]=t^{2} p(t). Sejam
S=\{t, 1\} \text { e } S^{\prime}=\{t, t+1\}
duas bases para P_{1}. Sejam
T=\left\{t^{3}, t^{2}, t, 1\right\} \quad \text { e } \quad T^{\prime}=\left\{t^{3}, t^{2}-1, t, t+1\right\}
duas bases para P_{3}. Encontre a matriz que representa L em relação a
S e T

Passo 1

O enunciado define o operador linear L\colon P_{1}\to P_{3} por L[p(t)]=t^{2}\,p(t), e pede a matriz que representa L em relação às bases S=\{t,1\} de P_{1} e T=\{t^{3},t^{2},t,1\} de P_{3}. Para isso, vamos calcular L em cada vetor de S e expressar o resultado na base T.

Passo 2

Aplicamos L ao primeiro vetor de S, p_{1}(t)=t:
L[p_{1}(t)] = t^{2}\cdot t = t^{3}.
Para expressar t^{3} na base T, observamos que
t^{3} = 1\cdot t^{3} + 0\cdot t^{2} + 0\cdot t + 0\cdot1.
Logo o vetor de coordenadas em T é
\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 3

Aplicamos L ao segundo vetor de S, p_{2}(t)=1:
L[p_{2}(t)] = t^{2}\cdot 1 = t^{2}.
Expressando t^{2} em T, temos
t^{2} = 0\cdot t^{3} + 1\cdot t^{2} + 0\cdot t + 0\cdot1.
Logo o vetor de coordenadas em T é
\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 4

Agora montamos a matriz [L]_{S,T} usando as coordenadas obtidas como colunas, na ordem de S=\{t,1\}:
[L]_{S,T} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

[L]_{S,T} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

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