Seja
um número real fixo e sejam
(a) Mostre que
é uma base ortonormal para
.
(b) Dado um vetor
, escreva-o como uma combinação linear
.
(c) Verifique que
(b) Dado um vetor
(c) Verifique que
Passo 1
O enunciado define
e pede:
a) mostrar que é base ortonormal de
;
b) para um , escrever
;
c) verificar que .
Conteúdo: produto interno canônico em , base ortonormal, expansão em coordenadas ortonormais e propriedade da norma.
a) mostrar que
b) para um
c) verificar que
Conteúdo: produto interno canônico em
Passo 2
Primeiro mostramos que cada vetor tem norma unidade no produto interno canônico
.
Passo 3
Agora mostramos ortogonalidade:
Como são dois vetores não-nulos, ortogonais e
, eles formam uma base ortonormal.
Passo 4
Numa base ortonormal vale a fórmula das coordenadas por projeção:
Logo, para
temos
e portanto
Passo 5
Para verificar a propriedade da norma, calculamos
Expandindo e agrupando coeficientes de
e
, os termos cruzados se cancelam e sobra
Resposta
(a) Já mostramos
e há dois vetores em
, logo é base ortonormal.
(b)
(b)
(c)