Seja theta um número real fixo e sejam
x1=[c cos theta sen theta ] e x2=[r -sen theta cos theta ]
(a) Mostre que x1, x2 é uma base ortonormal para R^2.
(b) Dado um vetor y em R^2, escreva-o como uma combinação linear c1 x1+c2 x2.
(c) Verifique que
c1^2+c2^2=|y|^2=y1^2+y2^2

Passo 1

O enunciado define
x1=costhetasentheta, x2=-senthetacostheta
e pede:
a) mostrar que x1,x2 é base ortonormal de R^2;
b) para um y=(y1,y2), escrever y=c1x1+c2x2;
c) verificar que c1^2+c2^2=|y|^2=y1^2+y2^2.
Conteúdo: produto interno canônico em R^2, base ortonormal, expansão em coordenadas ortonormais e propriedade da norma.

Passo 2

Primeiro mostramos que cada vetor tem norma unidade no produto interno canônico
lang<= u,vrang<==u1v1+u2v2.
lang<= x1,x1rang<= =cos^2theta+(sentheta)^2 =1, lang<= x2,x2rang<= =(!-sentheta)^2+cos^2theta =1

Passo 3

Agora mostramos ortogonalidade:
lang<= x1,x2rang<= =costhetacdot(-sentheta) +(sentheta)cdotcostheta =0
Como são dois vetores não-nulos, ortogonais e dimR^2=2, eles formam uma base ortonormal.

Passo 4

Numa base ortonormal vale a fórmula das coordenadas por projeção:
ci=lang<= y,xirang<=
Logo, para y=(y1,y2) temos
c1 =lang<= y,x1rang<= =y1costheta+y2,sentheta, c2 =lang<= y,x2rang<= =-,y1,sentheta+y2costheta,
e portanto
y =c1,x1+c2,x2

Passo 5

Para verificar a propriedade da norma, calculamos
c1^2+c2^2 =(y1costheta+y2,sentheta)^2 +(-y1,sentheta+y2costheta)^2
Expandindo e agrupando coeficientes de y1^2,y2^2 e y1y2, os termos cruzados se cancelam e sobra
c1^2+c2^2 =(cos^2theta+sen^2theta),y1^2 +(cos^2theta+sen^2theta),y2^2 =y1^2+y2^2 =|y|^2

Resposta

(a) Já mostramos lang<= xi,xjrang<==de<aij e há dois vetores em R^2, logo é base ortonormal.
(b)
y =(y1,y2) =(y1costheta+y2,sentheta),x1 +(-y1,sentheta+y2costheta),x2
(c)
c1^2+c2^2 =y1^2+y2^2 =|y|^2

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