Sejam A um anel, a e belementos de A e m e n inteiros. Verifique que:
e) (-m) a=-(m a)

Passo 1

Temos um anel A, um elemento a∈A e um inteiro m. Queremos provar que ao multiplicar a pelo inteiro –m obtemos o oposto aditivo de m vezes a, isto é
que
(-m)a = -(ma)
Para isso vamos usar a definição de multiplicação de inteiros em anel e as propriedades de grupo aditivo.

Passo 2

Vamos mostrar primeiro que
(-1)a = -a
Em Z temos –1 + 1 = 0, então aplicando a multiplicação por a
(-1 + 1)a = 0a
Pela propriedade distributiva isso dá
(-1)a + (1)a = 0a
Como (1)a = a e 0a = 0, segue
(-1)a + a = 0,
o que significa que
(-1)a
é o inverso aditivo de a, logo
(-1)a = -a

Passo 3

Sabendo que -m) = (-1) cdot m em Z, usamos a associatividade da ação de inteiros em A:
(-m)a = ((-1)cdot m)a = (-1)(ma)

Passo 4

Como já estabelecemos que para todo x∈A
(-1)x = -x,
aplicamos com x = ma e obtemos
(-1)(ma) = -(ma)
Portanto
(-m)a = -(ma),
que era o que queríamos demonstrar.

Resposta

(-m)a = -(m a)

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