Sejam
um anel, a e belementos de
e
e
inteiros. Verifique que:
e)
e)
Passo 1
Temos um anel A, um elemento a∈A e um inteiro m. Queremos provar que ao multiplicar a pelo inteiro –m obtemos o oposto aditivo de m vezes a, isto é
que
que
Para isso vamos usar a definição de multiplicação de inteiros em anel e as propriedades de grupo aditivo.
Passo 2
Vamos mostrar primeiro que
Em Z temos –1 + 1 = 0, então aplicando a multiplicação por a
Pela propriedade distributiva isso dá
Como
e
, segue
o que significa que
é o inverso aditivo de a, logo
Passo 3
Sabendo que
em Z, usamos a associatividade da ação de inteiros em A:
Passo 4
Como já estabelecemos que para todo x∈A
aplicamos com x = ma e obtemos
Portanto
que era o que queríamos demonstrar.
Resposta
(-m)a = -(m a)