Sejam A um anel, a e belementos de A e m e n inteiros. Verifique que:
c) (m+n) a=m a+n a

Passo 1

Resumo: em um anel A, dado um elemento ain A e inteiros m,n, queremos mostrar que (m+n)a = m a + n a. Vamos usar a definição de múltiplo inteiro de um elemento em A e um argumento por indução.

Passo 2

Relembramos a definição de múltiplo inteiro em A:
Para k>0, definimos:
k a = underbracea + a + cdots + ak vezes
Para k=0, definimos:
0 a = 0A
Para k<0, definimos:
k a = -l((-k)ar)

Passo 3

Prova para n>=0 por indução em n:
Base n=0: temos
(m+0)a = m a
e
m a + 0 a = m a + 0A = m a
Logo (m+0)a = m a + 0 a.
Hipótese de indução: suponha que (m+k)a = m a + k a. Então
(m+(k+1))a = (m+k)a + a = (m a + k a) + a = m a + (k a + a) = m a + (k+1)a
,
que fecha o passo indutivo.

Passo 4

Caso n<0: escreva n=-p com p>0. Então
(m+n)a = (m-p)a
Pelo caso anterior e pela definição de múltiplo negativo,
(m-p)a = m a + (-p)a = m a - (p a) = m a + n a

Resposta

(m+n)a = m a + n a

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