Sejam um anel, a e belementos de e e inteiros. Verifique que:
c)
Passo 1
Resumo: em um anel A, dado um elemento e inteiros , queremos mostrar que . Vamos usar a definição de múltiplo inteiro de um elemento em A e um argumento por indução.
Passo 2
Relembramos a definição de múltiplo inteiro em A:
Para , definimos:
Para k=0, definimos:
0 a = 0A
Para k<0, definimos:
k a = -l((-k)ar)
Passo 3
Prova para n>=0 por indução em n:
Base n=0: temos
(m+0)a = m a
e
m a + 0 a = m a + 0A = m a
Logo (m+0)a = m a + 0 a.
Hipótese de indução: suponha que (m+k)a = m a + k a. Então
(m+(k+1))a = (m+k)a + a = (m a + k a) + a = m a + (k a + a) = m a + (k+1)a
,
que fecha o passo indutivo.
Passo 4
Caso n<0: escreva n=-p com p>0. Então
(m+n)a = (m-p)a
Pelo caso anterior e pela definição de múltiplo negativo,
(m-p)a = m a + (-p)a = m a - (p a) = m a + n a
Resposta
(m+n)a = m a + n a
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Abramo Hefez - Curso de Álgebra - 3ª Edição - Capítulo 3.1.Problemas - Ex. 1.9.c