Sejam dados os vetores
. Se, para cada
-ésimo vetor da base canônica de
se exprime como
prove que
é a inversa da matriz que tem
como vetores-coluna.
Passo 1
O enunciado diz que temos vetores v₁,…,vₙ em ℝⁿ e que cada vetor da base canônica eⱼ pode ser escrito como combinação linear desses vᵢ, ou seja eⱼ=x₁ⱼv₁+⋯+xₙⱼvₙ. O conteúdo envolve matrizes, inversibilidade e mudança de base, e vamos precisar usar multiplicação de matrizes para mostrar que a matriz X=[xᵢⱼ] satisfaz AX=I, onde A é a matriz cujas colunas são v₁,…,vₙ.
Passo 2
Definimos a matriz A colocando v₁,…,vₙ como colunas e a matriz X com entradas xᵢⱼ, isto é:
Pelos coeficientes dados, a j-ésima coluna de X satisfaz A·(j-ésima coluna de X)=e_{j}.
Passo 3
Juntando para todas as colunas, obtemos
Aqui Iₙ é a matriz identidade em dimensão n.
Passo 4
Como A é matriz quadrada e satisfaz A X=Iₙ, concluímos que X é a inversa direita de A. Em ℝⁿ toda matriz quadrada que admite inversa à direita é invertível e essa inversa é única. Portanto X=A⁻¹.
Resposta
A matriz X=[x_{ij}] satisfaz A,X=I_{n}, onde A é a matriz cujas colunas são v_{1},…,v_{n}. Logo X=A^{-1}.