Calcule a n-ésima potência da matriz [ll1 & a 0 & 1].

Passo 1

O enunciado pede calcular a n-ésima potência da matriz A=1 & a0 & 1. Esse é um caso clássico de matriz de Jordan de ordem 2, e a gente vai usar o fato de que ela pode ser escrita como I+N, onde N é nilpotente.

Passo 2

Definimos A e extraímos a parte nilpotente: seja I a matriz identidade 2×2 e N=A-I. Assim,
A=1 & a0 & 1, I=1 &00 &1, N=A-I=0 & a0 &0

Passo 3

Mostramos que N é nilpotente de índice 2, ou seja,
N^2=0 & a0 &00 & a0 &0=0 & 00 &0

Passo 4

Como N^2=0, podemos aplicar o teorema binomial para matrizes:
(I+N)^n=sumk=0^nbinomnkN^k=I+binomn1N=I+nN,
já que todos os termos com k>=2 somam zero.

Passo 5

Por fim, substituímos N em I+nN e obtemos
A^n=I+nN=1 &00 &1+n0 & a0 &0=1 & na0 &1

Resposta

A^n=1 & na0 &1

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