Sejam F1, ldots, Fk subset E subespaços vetoriais. Prove:
(1) O subespaço gerado pela união F1 cup ldots cup Fk é o conjunto F1+cdots+Fk das somas x1+cdots+xk, onde x1 in F1, ldots, xk in Fk.
(2) As seguintes afirmações são equivalentes:
(a) Cada x in F1+cdots+Fk se escreve de modo único como soma x=x1+cdots+xk.
(b) Para cada j=1, ldots, k tem-se Fj cap(F1+cdots+Fj-1+Fj+1+cdots+Fk)= 0.
Quando uma das condições (a) ou (b) vale, escreve-se F1 oplus cdots oplus Fk em vez de F1+cdots+Fk e diz-se que este subespaço é a soma direta de F1, ldots, Fk.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas coisas sobre subespaços vetoriais:
– (1) que o subespaço gerado pela união F1cupcdotscup Fk coincide com a soma F1+cdots+Fk, isto é, todos os vetores da forma x1+cdots+xk, onde xjin Fj.
– (2) que a unicidade de escrita de um vetor na soma é equivalente a cada Fj intersectar trivialmente a soma dos outros. Para resolver, vamos usar as definições de subespaço gerado, soma de subespaços e interseção trivial.

Passo 2

Para (1), lembramos que o subespaço gerado por um conjunto Asubset E, denotado lang<= Arang<=, é o menor subespaço que contém A. Alternativamente, é o conjunto de todas as combinações lineares finitas de vetores de A.

Passo 3

Agora note que F1+cdots+Fk=x1+cdots+xk:,xjin Fj é um subespaço de E que contém cada Fj. Logo ele contém F1cupcdotscup Fk, e como lang<= F1cupcdotscup Fkrang<= é o menor subespaço que faz isso, temos
lang<= F1cupcdotscup Fkrang<=subset F1+cdots+Fk

Passo 4

Por outro lado, qualquer elemento de lang<= F1cupcdotscup Fkrang<= é combinação linear de vetores que pertencem à união, ou seja, é da forma
sumi=1^nalphai vi, viin Fj(i);para algum j(i)
Agrupando os termos de cada subespaço Fj, vemos que isso se escreve como
x1+cdots+xk, xjin Fj,
portanto pertence a F1+cdots+Fk. Assim
F1+cdots+Fksubsetlang<= F1cupcdotscup Fkrang<=
Juntando, conclui-se a igualdade.

Passo 5

Para (2), definimos:
(a) todo xin F1+cdots+Fk tem escrita única x=x1+cdots+xk.
(b) para cada j, Fjcap(sumineq jFi)=0
Mostramos que (a) implica (b): se existe xin Fjcap(sumineq jFi), então
x = x + 0 + cdots + 0 = 0 + cdots + 0 + x + 0 + cdots +0
são duas decomposições distintas em F1+cdots+Fk a menos que x=0.

Passo 6

Para a recíproca, suponha (b) e tome duas decomposições
x1+cdots+xk = x'1+cdots+x'k
Subtraindo, fica
(xj-x'j) + sumineq j(xi-x'i) = 0
Então xj-x'jin Fj e -sumineq j(xi-x'i)insumineq jFi. Pela interseção trivial, xj-x'j=0 para cada j, ou seja, xj=x'j. Logo a escrita é única.

Passo 7

Assim concluímos:
(1) lang<= F1cupcdotscup Fkrang<= = F1+cdots+Fk
(2) A condição de unicidade de escrita em F1+cdots+Fk é equivalente às interseções triviais, e então definimos a soma direta F1opluscdotsoplus Fk.

Resposta

(1) Tem-se
lang<= F1cupcdotscup Fkrang<= = F1+cdots+Fk
(2) As condições
(a) unicidade de x=x1+cdots+xk e
(b) Fjcap(sumineq jFi)=0,forall j
são equivalentes, definindo-se então a soma direta
F1opluscdotsoplus Fk

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