Sejam
subespaços vetoriais. Prove:
(1)
subespaço gerado pela união
é o conjunto
das somas
, onde
.
(2) As seguintes afirmações são equivalentes:
(a) Cada
se escreve de modo único como soma
.
(b) Para cada
tem-se
.
Quando uma das condições (a) ou (b) vale, escreve-se
em vez de
e diz-se que este subespaço é a soma direta de
.
(1)
(2) As seguintes afirmações são equivalentes:
(a) Cada
(b) Para cada
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas coisas sobre subespaços vetoriais:
– (1) que o subespaço gerado pela união coincide com a soma
, isto é, todos os vetores da forma
, onde
.
– (2) que a unicidade de escrita de um vetor na soma é equivalente a cada intersectar trivialmente a soma dos outros. Para resolver, vamos usar as definições de subespaço gerado, soma de subespaços e interseção trivial.
– (1) que o subespaço gerado pela união
– (2) que a unicidade de escrita de um vetor na soma é equivalente a cada
Passo 2
Para (1), lembramos que o subespaço gerado por um conjunto
, denotado
, é o menor subespaço que contém
. Alternativamente, é o conjunto de todas as combinações lineares finitas de vetores de
.
Passo 3
Agora note que
é um subespaço de
que contém cada
. Logo ele contém
, e como
é o menor subespaço que faz isso, temos
Passo 4
Por outro lado, qualquer elemento de
é combinação linear de vetores que pertencem à união, ou seja, é da forma
Agrupando os termos de cada subespaço
, vemos que isso se escreve como
portanto pertence a
. Assim
Juntando, conclui-se a igualdade.
Passo 5
Para (2), definimos:
(a) todo tem escrita única
.
(b) para cada ,
Mostramos que (a) implica (b): se existe , então
(a) todo
(b) para cada
Mostramos que (a) implica (b): se existe
são duas decomposições distintas em
a menos que
.
Passo 6
Para a recíproca, suponha (b) e tome duas decomposições
Subtraindo, fica
Então
e
. Pela interseção trivial,
para cada
, ou seja,
. Logo a escrita é única.
Passo 7
Assim concluímos:
(1)
(2) A condição de unicidade de escrita em é equivalente às interseções triviais, e então definimos a soma direta
.
(1)
(2) A condição de unicidade de escrita em
Resposta
(1) Tem-se
(2) As condições
(a) unicidade de e
(b)
são equivalentes, definindo-se então a soma direta
(a) unicidade de
(b)
são equivalentes, definindo-se então a soma direta