Para todo
seja
o conjunto dos polinômios (de graus arbitrários) que são divisíveis por
. Prove que
é um subespaço vetorial de
. Ache um subespaço
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
é um subespaço de e depois encontrar um subespaço
tal que
. O conteúdo envolve teoria de subespaços vetoriais e soma direta, e vamos usar o algoritmo da divisão de polinômios por
.
é um subespaço de
Passo 2
Para mostrar que
é subespaço, verificamos:
- O polinômio zero está em
porque
. - Se
, então existem tais que
e . Logo
. - Para qualquer escalar
,
.
Portanto,é fechado em adição e multiplicação por escalar e contém , ou seja, é subespaço.
Passo 3
Definimos o candidato a complementar
Pelo algoritmo da divisão, dado
, existem únicos
com
tais que
Isso mostra que
, com
e
, logo
Passo 4
Falta verificar que a soma é direta, isto é,
. Se
então
e
.
Mas só o polinômio zero satisfaz ambas as condições simultaneamente. Logo
e segue que
Mas só o polinômio zero satisfaz ambas as condições simultaneamente. Logo
Resposta
Um subespaço complementar é
F={p(\chi)\in\mathcal{P}:\deg§<n},
pois assim
F={p(\chi)\in\mathcal{P}:\deg§<n},
pois assim