Para todo n in N seja Qn o conjunto dos polinômios (de graus arbitrários) que são divisíveis por chi^n. Prove que Qn é um subespaço vetorial de P. Ache um subespaço F subset P tal que P=F oplus Qn.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
Qn=p(chi)inP:chi^nmid p(chi)
é um subespaço de P e depois encontrar um subespaço F tal que
P=Foplus Qn. O conteúdo envolve teoria de subespaços vetoriais e soma direta, e vamos usar o algoritmo da divisão de polinômios por chi^n.

Passo 2

Para mostrar que Qn é subespaço, verificamos:
  1. O polinômio zero está em Qn porque
    0=chi^ncdot0.
  2. Se p,qin Qn, então existem p1,q1inP tais que
    p=chi^np1 e q=chi^nq1. Logo
    p+q=chi^n(p1+q1)in Qn.
  3. Para qualquer escalar lambda,
    lambda p=chi^n(lambda p1)in Qn.
    Portanto, Qn é fechado em adição e multiplicação por escalar e contém 0, ou seja, é subespaço.

Passo 3

Definimos o candidato a complementar
F=r(chi)inP:deg(r)<n
Pelo algoritmo da divisão, dado
p(chi)inP, existem únicos
q(chi),,r(chi) com deg(r)<n tais que
p(chi)=chi^nq(chi)+r(chi)
Isso mostra que p=r+(chi^nq), com
rin F e chi^nqin Qn, logo
P=F+Qn

Passo 4

Falta verificar que a soma é direta, isto é,
Fcap Qn=0. Se
sin Fcap Qn, então
s=chi^nu e deg(s)<n.
Mas só o polinômio zero satisfaz ambas as condições simultaneamente. Logo
Fcap Qn=0 e segue que
P=Foplus Qn

Resposta

Um subespaço complementar é
F={p(\chi)\in\mathcal{P}:\deg§<n},
pois assim
P=Foplus Qn

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