Quais dos seguintes conjuntos são subespaços vetoriais?
Os vetores de
cujas coordenadas formam uma progressão geométrica de razão fixada.
Os vetores de
Passo 1
O enunciado quer saber se o conjunto S = {v∈ℝⁿ cujas coordenadas formam uma progressão geométrica de razão fixa r} é um subespaço vetorial. Vamos precisar do teste de subespaço: verificar se o zero está em S, se S é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Para entender bem S, note que v∈S se, e só se, existem a∈ℝ e uma razão r fixa tais que v = (a,ar,ar2,…,ar{n−1}). Esse é exatamente o critério de progressão geométrica de razão r.
O vetor zero está em S? Se escolhermos a = 0 então ar^k = 0 para todo k, logo v = (0,0,…,0). Assim 0∈S.
O vetor zero está em S? Se escolhermos a = 0 então ar^k = 0 para todo k, logo v = (0,0,…,0). Assim 0∈S.
Passo 3
Fechamento sob soma: sejam v=(a,ar,…,ar^{n−1}) e w=(b,br,…,br^{n−1}) em S. Então v+w = (a+b,(a+b)r,…,(a+b)r^{n−1}), que é uma progressão geométrica de razão r e primeiro termo a+b. Logo v+w∈S.
Passo 4
Fechamento sob escalar: para v=(a,ar,…,ar^{n−1}) em S e λ∈ℝ, temos λv = (λa,λar,…,λar^{n−1}) = (c,cr,…,cr^{n−1}) com c=λa. Isso também é uma progressão geométrica de razão r, logo λv∈S.
Passo 5
Como 0∈S, S é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, concluímos que S é um subespaço vetorial de ℝⁿ.
Resposta
O conjunto dos vetores cujas coordenadas formam uma progressão geométrica de razão fixa é um subespaço vetorial de ℝⁿ.