Sejam A e B matrizes complexas m \times n, e C uma matriz n \times n invertível.
Mostre que, para qualquer número real k, \overline{k A}=k \bar{A}.

Passo 1

O enunciado pede para provar uma propriedade da conjugação de uma matriz complexa multiplicada por um escalar real. O conteúdo aqui é definição de conjugado de matriz e uso da propriedade \overline{kz}=k\,\overline{z} para k\in\mathbb{R} e z\in\mathbb{C}.

Passo 2

Lembramos que, se A=(a_{ij}) é uma matriz complexa m\times n, então sua conjugada \overline{A} é a matriz \bigl(\overline{a_{ij}}\bigr), obtida conjugando cada entrada de A.

Passo 3

Para o produto kA, com k\in\mathbb{R}, a definição de multiplicação por escalar dá
(kA)_{ij}=k\,a_{ij},\quad\text{para todo }1\le i\le m,\;1\le j\le n.

Passo 4

Aplicando a conjugação entrada a entrada, temos
\bigl(\overline{kA}\bigr)_{ij} =\overline{(kA)_{ij}} =\overline{k\,a_{ij}} =\overline{k}\,\overline{a_{ij}} = k\,\overline{a_{ij}},
pois \overline{k}=k quando k é real.

Passo 5

Como duas matrizes são iguais se, e somente se, todas as suas entradas são iguais, concluímos que
\overline{kA} =k\,\overline{A}.

Resposta

\displaystyle \overline{kA}=k\,\overline{A}.

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