Sejam
e
pontos de intercessão de dois círculos. Sejam
e
as extremidades dos diâmetros dos dois círculos que se iniciam no ponto
.
Prove que a reta que liga
a
contém o ponto
.
Passo 1
Resumindo: temos dois círculos que se cortam nos pontos
e
. Num círculo, o ponto
é tal que
é diâmetro; no outro círculo, o ponto
é tal que
é diâmetro. Queremos mostrar que
está na reta que passa por
e
. Vamos usar o Teorema de Tales (ângulo inscrito em semicircunferência é reto) e a propriedade de colinearidade (ângulo de
implica pontos colineares).
Passo 2
No primeiro círculo,
é diâmetro. Pelo Teorema de Tales, o ângulo inscrito que intercepta o diâmetro é reto. Logo, no vértice
,
Passo 3
No segundo círculo,
é diâmetro. Aplicando novamente o Teorema de Tales, obtemos
Passo 4
Observe que o ângulo formado pelas retas
e
em
pode ser escrito como
Como
e
, temos
Um ângulo de
num ponto implica que os três pontos são colineares. Logo,
,
e
estão alinhados.
Resposta
O ponto
pertence à reta
.