Prove que se dois círculos têm dois pontos em comum, a reta dos centros é mediatriz do segmento ligando estes dois pontos.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas circunferências com centros O1 e O2 que se intersectam em dois pontos distintos A e B. Queremos mostrar que a reta O1O2 é a mediatriz de AB; ou seja, que ela passa pelo ponto médio de AB e é perpendicular a AB.

Passo 2

Lembremos que a mediatriz de um segmento AB é o lugar geométrico dos pontos que estão à mesma distância de A e de B. Em particular, se dois pontos distintos pertencem à mediatriz de AB, a reta que os une é a mediatriz de AB.

Passo 3

Como A e B pertencem à circunferência de centro O1, temos
O1A = O1B
Analogamente, como A e B pertencem à circunferência de centro O2, segue
O2A = O2B
Portanto, tanto O1 quanto O2 estão à mesma distância de A e de B; isto é, O1 e O2 pertencem à mediatriz de AB.

Passo 4

Como O1neq O2 e ambos estão na mediatriz de AB, a reta O1O2 é justamente essa mediatriz. Logo, O1O2 passa pelo ponto médio de AB e é perpendicular a AB.

Resposta

Fica provado que a reta dos centros O1O2 é a mediatriz do segmento AB.

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