Prove que se dois círculos têm dois pontos em comum, a reta dos centros é mediatriz do segmento ligando estes dois pontos.
Passo 1
O enunciado diz que temos duas circunferências com centros
e
que se intersectam em dois pontos distintos
e
. Queremos mostrar que a reta
é a mediatriz de
; ou seja, que ela passa pelo ponto médio de
e é perpendicular a
.
Passo 2
Lembremos que a mediatriz de um segmento
é o lugar geométrico dos pontos que estão à mesma distância de
e de
. Em particular, se dois pontos distintos pertencem à mediatriz de
, a reta que os une é a mediatriz de
.
Passo 3
Como
e
pertencem à circunferência de centro
, temos
Analogamente, como
e
pertencem à circunferência de centro
, segue
Portanto, tanto
quanto
estão à mesma distância de
e de
; isto é,
e
pertencem à mediatriz de
.
Passo 4
Como
e ambos estão na mediatriz de
, a reta
é justamente essa mediatriz. Logo,
passa pelo ponto médio de
e é perpendicular a
.
Resposta
Fica provado que a reta dos centros
é a mediatriz do segmento
.