Prove que a medida de um ângulo formado por uma tangente e uma secante é igual a metade da diferença entre as medidas dos arcos que ele determina.

Passo 1

O que temos aqui é uma circunferência, um ponto externo P, de onde sai uma tangente que toca a circunferência em T e uma secante que corta a circunferência nos pontos A (mais perto de P) e B (mais longe de P). A afirmação a provar é
ml(ang<= APTr);=;tfrac12l(m(widehatBT)-m(widehatAT)r)
O que vamos usar é o Teorema do ângulo formado por duas secantes a partir de um ponto exterior (que diz que esse ângulo vale metade da diferença dos arcos interceptados) e, em seguida, enxergar a tangente como um caso limite de secante cujas duas interseções se fundem em T.

Passo 2

Considere primeiro duas secantes que partem de P, uma passando por A e depois por B, e outra passando por C e depois por D. Pelo Teorema do ângulo formado por duas secantes temos
ml(ang<= APCr) ;=;tfrac12l(m(widehatAC)-m(widehatBD)r)
A ideia rápida da prova desse teorema é:
  • As linhas PA e PB são colineares, e o mesmo vale para PC e PD.
  • Nos pontos B e D formam-se dois ângulos inscritos que interceptam precisamente os arcos widehatBD e widehatAC.
  • Fazendo a diferença apropriada desses dois ângulos inscritos verifica-se que ela coincide com ang<= APC.

Passo 3

Agora volte ao nosso caso de tangente e secante. A tangente de P só toca a circunferência em um ponto, T. Podemos pensar nisso como se a segunda secante tivesse seus dois pontos de interseção colidindo em T, ou seja, C=D=T. Na fórmula do passo anterior colocamos C=D=T e A,B vindos da secante original:
ml(ang<= APTr) ;=;tfrac12l(m(widehatAT)-m(widehatBT)r)
Aqui widehatAT e widehatBT são os arcos determinados pela tangente em T e pelos pontos A e B da secante.

Passo 4

Como estamos falando de medida de arcos, podemos escrever sempre a diferença “maior menos menor” para garantir positividade. Portanto reescrevendo em ordem crescente de letras no círculo, obtemos exatamente
ml(ang<= APTr) =;tfrac12l(m(widehatBT)-m(widehatAT)r),
que era o que queríamos demonstrar.

Resposta

Fica assim demonstrado que o ângulo formado pela tangente e pela secante é exatamente a metade da diferença entre os arcos que essas retas interceptam na circunferência.

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