Prove que a medida de um ângulo formado por uma tangente e uma secante é igual a metade da diferença entre as medidas dos arcos que ele determina.
Passo 1
O que temos aqui é uma circunferência, um ponto externo
, de onde sai uma tangente que toca a circunferência em
e uma secante que corta a circunferência nos pontos
(mais perto de
) e
(mais longe de
). A afirmação a provar é
O que vamos usar é o Teorema do ângulo formado por duas secantes a partir de um ponto exterior (que diz que esse ângulo vale metade da diferença dos arcos interceptados) e, em seguida, enxergar a tangente como um caso limite de secante cujas duas interseções se fundem em
.
Passo 2
Considere primeiro duas secantes que partem de
, uma passando por
e depois por
, e outra passando por
e depois por
. Pelo Teorema do ângulo formado por duas secantes temos
A ideia rápida da prova desse teorema é:
- As linhas
e são colineares, e o mesmo vale para e . - Nos pontos
e formam-se dois ângulos inscritos que interceptam precisamente os arcos e . - Fazendo a diferença apropriada desses dois ângulos inscritos verifica-se que ela coincide com
.
Passo 3
Agora volte ao nosso caso de tangente e secante. A tangente de
só toca a circunferência em um ponto,
. Podemos pensar nisso como se a segunda secante tivesse seus dois pontos de interseção colidindo em
, ou seja,
. Na fórmula do passo anterior colocamos
e
vindos da secante original:
Aqui
e
são os arcos determinados pela tangente em
e pelos pontos
e
da secante.
Passo 4
Como estamos falando de medida de arcos, podemos escrever sempre a diferença “maior menos menor” para garantir positividade. Portanto reescrevendo em ordem crescente de letras no círculo, obtemos exatamente
que era o que queríamos demonstrar.
Resposta
Fica assim demonstrado que o ângulo formado pela tangente e pela secante é exatamente a metade da diferença entre os arcos que essas retas interceptam na circunferência.