Suponha que a matriz
de coeficientes de um sistema linear de equações tem 4 pivôs. O sistema é consistente? Se o sistema for consistente, quantas soluções terá?
Passo 1
O enunciado fala de uma matriz de coeficientes
de tamanho
que possui exatamente 4 pivôs. Isso significa que
. O conteúdo aqui é a relação entre posto da matriz, consistência do sistema
e número de variáveis livres.
Passo 2
Como
e
tem 4 linhas, o posto de
atinge o número de linhas. Isso implica que as colunas de
geram todo
. Em outras palavras, para qualquer vetor de termos independentes
existe solução de
.
Passo 3
Portanto o sistema é sempre consistente: não aparece linha do tipo
pois não há pivô adicional na coluna dos termos independentes.
Passo 4
O número de variáveis livres é dado por
Como existem
variáveis livres, o conjunto solução forma um espaço afim de dimensão 3, ou seja, há infinitas soluções.
Resposta
O sistema é consistente para qualquer vetor
e possui infinitas soluções, com 3 graus de liberdade.