Suponha que a matriz 4 \times 7 de coeficientes de um sistema linear de equações tem 4 pivôs. O sistema é consistente? Se o sistema for consistente, quantas soluções terá?

Passo 1

O enunciado fala de uma matriz de coeficientes A de tamanho 4\times7 que possui exatamente 4 pivôs. Isso significa que \mathrm{rank}(A)=4. O conteúdo aqui é a relação entre posto da matriz, consistência do sistema Ax=b e número de variáveis livres.

Passo 2

Como \mathrm{rank}(A)=4 e A tem 4 linhas, o posto de A atinge o número de linhas. Isso implica que as colunas de A geram todo \mathbb{R}^4. Em outras palavras, para qualquer vetor de termos independentes b\in\mathbb{R}^4 existe solução de Ax=b.

Passo 3

Portanto o sistema é sempre consistente: não aparece linha do tipo
0\;x_1+\cdots+0\;x_7 = c,\quad c\neq0,
pois não há pivô adicional na coluna dos termos independentes.

Passo 4

O número de variáveis livres é dado por
\text{nº de variáveis livres} = n - \mathrm{rank}(A) = 7 - 4 = 3.ºá
Como existem 3 variáveis livres, o conjunto solução forma um espaço afim de dimensão 3, ou seja, há infinitas soluções.

Resposta

O sistema é consistente para qualquer vetor b\in\mathbb{R}^4 e possui infinitas soluções, com 3 graus de liberdade.

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