3 Se a temperatura é constante, então a taxa de variação da pressão barométrica p em relação à altura h é proporcional a p. Se p=76 \mathrm{~cm} ao nível do mar e p=74 \mathrm{~cm} quando h=305 \mathrm{~m}, determine a pressão a uma altitude de 1.525 m .

Passo 1

O enunciado diz que, a temperatura sendo constante, a taxa de variação da pressão barométrica p em relação à altura h satisfaz
\frac{dp}{dh}\propto p.
Dado que p(0)=76\,\mathrm{cm} ao nível do mar e p(305)=74\,\mathrm{cm}, queremos achar p(1525). O conteúdo é equação diferencial de primeira ordem com solução exponencial.

Passo 2

Escrevemos o modelo como
\frac{dp}{dh}=k\,p,
onde k é constante. A solução geral é
p(h)=A\,e^{k\,h}.
Como p(0)=76, segue que A=76, logo
p(h)=76\,e^{k\,h}.

Passo 3

Usamos o ponto \bigl(h=305,\;p=74\bigr) para determinar k:
74=76\,e^{k\cdot305} \quad\Longrightarrow\quad e^{k\cdot305}=\frac{74}{76} \quad\Longrightarrow\quad k=\frac{1}{305}\ln\!\Bigl(\tfrac{74}{76}\Bigr).

Passo 4

Agora calculamos
p(1525) =76\,e^{k\cdot1525} =76\;\Bigl(e^{k\cdot305}\Bigr)^{\!\tfrac{1525}{305}} =76\;\Bigl(\tfrac{74}{76}\Bigr)^{5}.
Fazendo as contas,
p(1525)\approx76\cdot0{,}973684^{5}\approx66{,}5\\ \mathrm{cm}.

Resposta

A pressão a 1\,525 m de altitude é aproximadamente 66{,}5,cm.

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